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图3.2.1
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现在我们推导双向拍卖的一个线性的贝叶斯纳什均衡。仍如上节强调的，我们并没有限制参与者的战略空间，使之只包含线性战略；而仍允许参与者任意选择战略，看是否存在一个均衡，双方战略都是线性的。除单一价格均衡和线性均衡之外，博弈还存在许多其他均衡，但线性均衡有着有趣的效率特性，我们将在后面进行分析。
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假设卖方的战略为ps（vs）=as+csvs，则ps服从区间[as，as+cs]上的均匀分布，于是（3.2.3）可化为
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由上式的一阶条件可推出
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从而，如果卖方选择一个线性战略，则买方的最优反应也是线性的；相似地，假设买方的战略为Pb（vb）=ab+cbvb，则pb服从区间[ab，ab+cb]上的均匀分布，于是（3.2.4）可化为
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由上式的一阶条件可得
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也就是说，如果买方选择一个线性战略，则卖方的最优反应也是线性的。要使参与双方的线性战略成为彼此战略的最优反应，由（3.2.5）可知cb=2/3，ab=as/3，由（3.2.6）可知cs=2/3，as=（ab+cb）/3。那么，线性均衡战略为
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且
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如图3.2.2所示。
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前面讲过，双向拍卖中当且仅当pb＞ps才发生交易，合并（3.2.7）和（3.2.8）的条件可知，在线性均衡中，当且仅当vb＞vs+（1/4）时才会有交易发生，如图3.2.3所示（与图3.2.3的表示相印证，图3.2.2说明了卖方的类型高于3/4时，他出的卖价超过了买方的最高可能出价pb（1）=3/4，并且买方的类型低于1/4时，他出的买价低于卖方的最低可能要价ps（0）=1/4）。
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图3.2.2
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