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[1] 设想有两个企业正比赛开发一项新的技术。每一企业成功的机会部分依赖于此项技术的难度，这一点是未知的。每一企业只知道自己是否已经成功，而不知道另一企业进展如何。不过，如果企业1成功了，则此项技术的难度可能不太大，企业2同样已经成功的可能性较大。那么，企业1对企业2类型的推断是依赖于企业1对自己类型的知识。
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[2] 贝叶斯法则提供了P（A|B）的计算公式，即事件B已经发生后，事件A将会发生的（条件）概率。令P（A）、P（B）及P（A，B）分别表示A将发生，B将发生，都将发生的（先验）概率（即不论A还是B都没有机会发生之前的概率），贝叶斯法则给出的条件概率公式为P（A|B）=P（A，B）/P（B），也就是说，给定B发生，A发生的条件概率等于A和B同时发生的概率除以B发生的先验概率。
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[3] 当参与者的战略相同时，贝叶斯纳什均衡就被称为是对称的。也就是说，在一个对称的贝叶斯纳什均衡中，存在一个单一的b（vi），使参与者1的战略b1（v1）为b（v1），参与者2的战略b2（v2）为b（v2），并且此单一战略是其自身的最优反应。当然，尽管双方都运用同一战略，但由于参与者的估价一般是不一致的，他们的投标价格一般也不会相同。
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[4] 跳过此附录将不会影响对以后内容的理解。
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博弈论基础 [:1704417436]
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博弈论基础 第4章 非完全信息动态博弈
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本章我们将介绍另一种新的均衡概念——精炼贝叶斯均衡，从而在这四章中就有了四个均衡概念：完全信息静态博弈中的纳什均衡、完全信息动态博弈中的子博弈精炼纳什均衡、非完全信息静态博弈中的贝叶斯纳什均衡以及非完全信息动态博弈中的精炼贝叶斯均衡。看起来我们好像对所研究的每一类型的博弈都发明出了一种新的均衡概念，但事实上这些概念又是密切相关的。随我们研究的博弈逐步复杂，我们对均衡概念也逐渐强化，从而可以排除复杂博弈中不合理或没有意义的均衡，而如果我们运用适用于简单博弈的均衡概念就无法区分。在每一种情况下，较强的均衡概念只在应用于复杂的博弈时才不同于较弱的均衡概念，而对简单的博弈并没有区别。具体地说，精炼贝叶斯均衡在非完全信息静态博弈中即等同于贝叶斯纳什均衡，在完全信息动态博弈（以及在许多完全非完美信息动态博弈，包括第2.2节及第2.3节讨论过的博弈）中等同于子博弈精炼纳什均衡，在完全信息静态博弈中等同于纳什均衡。
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引入精炼贝叶斯均衡的目的是为了进一步强化（即加强对条件的要求）贝叶斯纳什均衡，这和子博弈精炼纳什均衡强化了纳什均衡是相同的。正如我们在完全信息动态博弈中加上了子博弈精炼的条件，是因为纳什均衡无法包含威胁和承诺都应是可信的这一思想；我们在对非完全信息动态博弈的分析中将集中于精炼贝叶斯均衡，是因为贝叶斯纳什均衡也存在同样的不足。回顾前面讲过的，如果参与者的战略要成为一个子博弈精炼纳什均衡，则它们不仅必须是整个博弈的纳什均衡，还必须是其中每一个子博弈的纳什均衡。在本章中，我们用更为广义的后续博弈（continuation game）的概念来代替子博弈的概念——前者可始于任何完全信息集（而不论是否单节），不再仅开始于单节的信息集。其后，我们进行相似的分析：如果参与者的战略要成为博弈的一个精炼贝叶斯均衡，它们不仅必须是整个博弈的贝叶斯纳什均衡，而且还必须构成每一个后续博弈的贝叶斯纳什均衡。
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在第4.1节我们一般性地介绍精炼贝叶斯均衡的主要特征。为此，我们暂时采用与上面强调的内容相反的第二（互补的）理解：精炼贝叶斯均衡通过对参与者推断的隐含的分析，强化了子博弈精炼纳什均衡的要求，这也和贝叶斯纳什均衡是相似的。这种第二理解首先由豪尔绍尼（1967）提出，因为我们可以把一个非完全信息博弈描述为一个非完美信息博弈——自然告知参与者i他的类型却没有告知），于是参与者j就不知道博弈进行的完整过程。因此，一种为在非完全信息动态博弈中强化贝叶斯纳什均衡而设计的均衡概念，同样可以强化完全非完美信息动态博弈中的子博弈精炼纳什均衡。
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在第4.2节我们分析非完全信息条件下应用最广的博弈类型：信号博弈（signaling game）。用抽象的语言表述，信号博弈包含两个参与者（其中之一有私人信息，另一个没有），两步行动（首先由掌握私人信息的一方发出一个信号，然后没有私人信息的一方作出反应）。其主要思想是，如果某类有私人信息的参与者愿意发出一种信号，而另外类型的参与者因成本太高无法发出同样的信号，则交流就可达成。首先，我们定义信号博弈的精炼贝叶斯均衡，并描述可能存在的不同种类的均衡结果（分别对应于不同程度的交流，从没有交流到完美交流）。其后，考虑斯彭斯（Spence，1973）的极富创意的就业市场信号模型，以及迈尔斯和迈卢夫（Myers&Majluf，1984）的公司投资模型和维克斯（Vickers，1986）的货币政策模型。
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在第4.3节我们讨论精炼贝叶斯均衡的其他应用。首先介绍克劳福德和索贝尔（1982）对空谈博弈（cheap-talk game）的分析（即所有的信号都不需任何成本的信号博弈），该模型的应用包括总统否决权威胁、联邦储备委员会关于货币政策的表态，以及组织内部的交流（或“声音”（voice））。在空谈博弈中，交流的程度决定于参与者利益在多大程度上是共同的，而不在于不同类型参与者发出信号的成本差异。其后我们研究索贝尔和高桥（1983）的序贯谈判模型，其中企业必须要承受一次罢工以表明它无法支付更高的工资（比较第2.1.D节中鲁宾斯坦的完全信息谈判模型，在均衡情况下不会出现罢工）。最后，我们将介绍克雷普斯、米尔格龙（Milgmm）、罗伯茨以及威尔逊（1982）等人十分重要的研究结论，他们分析了声誉（Reputation）在有限重复的囚徒困境中达成理性合作的关键作用（参照第2.3.A节得出的结论，阶段博弈有惟一纳什均衡的有限重复博弈，有惟一的子博弈精炼纳什均衡，即阶段博弈的纳什均衡重复n次）。
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在第4.4节重回理论分析。尽管是本书的最后一节，但它更多地指示博弈论的发展方向及更新和更深入的研究领域，而不只是对以前内容的总结。我们介绍并举例说明两个（相互承继的）对精炼贝叶斯均衡的再精炼，其中第二个是赵和克雷普斯（Chao&Kreps，1987）的直观标准（Intuitive Criterion）。
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博弈论基础 [:1704417437]
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博弈论基础 4.1 精炼贝叶斯均衡概述
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考虑如下完全非完美信息动态博弈。第一，参与者1在3个行动中进行选择——L、M及R。如果参与者1选择R，则博弈结束（不等参与者2行动）。如果参与者1选择了L或M，则参与者2就会知道1没有选择R（但不清楚1是选择了L还是M），并在或L’或R’两个行动中进行选择，博弈随之结束。收益情况由图4.1.1的扩展式博弈给出。
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图4.1.1
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图4.1.2
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通过图4.1.2给出的这一博弈的标准式表述，我们可以发现存在两个纯战略纳什均衡（L，L’）和（R，R’）。为确定这些纳什均衡是否符合子博弈精炼的条件，我们先明确博弈的子博弈。由于子博弈根据定义始于单一信息集的决策节（但不包含博弈的第一个决策节），图4.1.1里的博弈不存在子博弈。如果一个博弈没有子博弈，则子博弈精炼的要求（具体地说，即参与者的战略在每一个子博弈中均构成纳什均衡）自然就得到满足。从而在任何没有子博弈的博弈中，子博弈精炼纳什均衡的定义便等同于纳什均衡的定义，于是在图4.1.1中，（L，L’）以及（R，R’）都是子博弈精炼纳什均衡。然而，（R，R’）却又明显要依赖于一个不可信的威胁：如果轮到参与者2行动，则选择L’要优于选择R’，于是参与者1便不会由于2威胁他将在其后的行动中选择R’，而去选择R。
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使均衡概念得到进一步强化，以排除图4.1.1中像（R，R’）的子博弈精炼纳什均衡的方法之一，是再附加以下两个要求。
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要求1：在每一信息集中，应该行动的参与者必须对博弈进行到该信息集中的哪个节有一个推断（belief）。对于非单节信息集，推断是在信息集中不同节点的一个概率分布；对于单节的信息集，参与者的推断就是到达此单一决策节的概率为1。
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