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我们的第二个例子是克劳福德和索贝尔模型的一种特殊情况。现在类型、信号和行动空间都是连续的：发送者的类型在0到1的区间内均匀分布（正式地，T=[0，1]且对所有的t∈T，p（T）=1）；信号空间即为类型空间（M=T）；行动空间为0到1之间的区间（A=[0，1]）。接收者的收益函数为UR（t，a）=-（a-t）2，发送者的收益函数Us（t，a）=-[a-（t+b）]2，从而发送者的类型为t时，接收者的最优行动为a=t，但对发送者来讲，最优行为都是a=t+b。也就是说，不同类型的发送者对接收者行为的偏好不同（具体地讲，较高的类型偏好的行动也较高），并且参与者双方的偏好并不是完全对抗性的（具体地讲，参数b＞0衡量参与者偏好的一致性——当b更接近于0时，参与者的利益更为一致）。
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克劳福德和索贝尔证明这一模型（以及与之相关的许多类型的模型）所有的精炼贝叶斯均衡等价于以下形式的部分混同均衡：类型空间被分割为n个子区间，[（0，x1），[x1，x2），…，[xn-1，1]，…；属于某一给定区间的所有类型都选择同样的信号，但属于不同区间的类型所选择的信号也不相同。前面已经提到，混同均衡（n=l）总是存在。我们将证明，给定偏好程度参数b，存在一个能够在均衡中出现的区间数（或称“段数”）的最大值，用n*（b）表示，并且对每一个n=l，2，…，n*（b）都存在部分混同均衡。随b的降低，可使n*（b）提高——从这一点来说，当参与者的偏好分布更为一致时，通过空谈就可以达到更好的沟通。同时，对所有b＞0，n*（b）都是有限值；但当b趋于0时，n*（b）趋于无穷大——只有当参与者的偏好完全一致时，才可能达到完全交流。
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本节的最后，我们分析上述部分混同均衡的特征，首先用两段均衡（n=2）进行说明。假设在区间[0，x1）的所有类型选择一种信号，而属于区间[x1，1]的选择另一种信号。接收到属于区间[0，x1）的类型发送的信号后，接收者将推断发送者的类型在[0，x1）上均匀分布，于是接收者的最优行动将是x1/2；类似地，接收到属于区间[x1，1]的类型发送的信号后，接收者的最优行动将为（x1+1）/2。为使[0，x1]中的类型愿意选择他们的信号，必须满足区间中的所有类型和（x1+1）/2相比，更偏好x1/2；类似地，所有x1之上的类型在（x1+1）/2和x1/2中，更偏好（x1+1）/2。
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图4.3.2
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因为发送者的偏好在对其而言的最优行动的两侧是对称的，如果两个行动的中点超过了对他所属类型而言的最优行动t+b（如图4.3.2所示），和（x1+1）/2相比，他会更偏好x1/2；但如果t+b超过了中点，则更偏好（x1+1）/2。那么，要使两步均衡存在，x1所表示的类型t1，其最优行动必须恰好等于两个行动的中点：
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由于类型空间为T=[0，1]，x1又必须为正，于是两段均衡只有当b＜1/4时存在；因为b≥1/4时，参与者的偏好过于不一致，以致于这种非常有限的交流也无法达成。
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为完成对这一两步均衡的讨论，我们再来看处于均衡路径之外的情况。克劳福德和索贝尔通过指定发送者的（混合）战略，使得不存在均衡之外的信号：所有t＜x1的类型根据[0，x]上的均匀分布随机选择一个信号；所有t≥x1的类型根据[x，1]上的均匀分布随机选择一个信号。由于我们假定M=T，均衡中也就不存在肯定不会被选择的信号，于是接收者在所有可能信号之后的推断由信号要求3决定：观测到任意[0，x1]间的信号后，接收者的推断为t在区间[0，x1]均匀分布；观测到任意[x1，1]间的信号后，接收者的推断为t在区间[x1，1]均匀分布（在发送者混合战略中使用均匀分布完全不同于对发送者类型均匀分布的假定；发送者的混合战略也可以运用相同区间上其他任何严格正的概率分布）。作为对克劳福德和索贝尔方法的一种变化，我们可以指定发送者的一个纯战略，同时选择接收者对均衡路径之外信号的合适的推断。例如，令发送者的战略为所有t＜x1的类型选择信号0，且所有t≥x1的类型选择信号x1；同时令接收者观测到[0，x1]间的信号时推断t在[0，x1]区间服从均匀分布，观测到[x1，1]间的信号时推断t在区间服从均匀分布。
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为描述一个n段均衡，我们重复应用下面从两段均衡中观测到的结果：上面的一段[x1，1]比下面的一段[0，x1]要长4b。这一观测结果可根据以下事实得出：给定发送者的类型（t），对发送者而言的最优行动（t+b）比接收者的最优行动（t）高出b。那么，如果相邻两段的长度相等，两段之间的临界类型（两段均衡中的x1）就会严格偏好于选择与上面一段相对应的信号；事实上，稍低于临界值的类型也会有相同的偏好。使临界类型在两段之间没有差别的惟一方法（并从而使高于和低于临界值的类型严格偏好各自的信号）就是适当地使上面一段较下面一段稍长一些，具体证明如下：
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如果[xk-1，xk]段的长为c（即xk-xk-1=c），则接收者与此段相应的最优行动（具体地讲，即（xk+xk-1）/2）要比临界类型xk的最优行动（具体地讲，为xk+b）低（c/2）+b。为使临界类型xk在相邻两段[xk-1，xk]和[xk，xk+1]间无差异，接收者与后面一段相应的最优行动必须比xk的最优行动高出（c/2）+b：
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从而证明了每一段都比下一段长出4b。
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在n段均衡中，如果第一段的长度为d，则第二段的长必须为d+4b，第三段的长为d+8b，如此等等。第n段必须恰好于t=1处结束，于是必定有：
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d+（d+4b）+…+[d+（n-1）4b]=1.
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运用等差数列求和公式1+2+…+（n-1）=n（n-l）/2，我们得到
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n·d+n（n-1）·2b=1. （4.3.1）
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给定满足n（n-1）·2b＜1的任意n，都存在一个d的值满足（4.3.1）。也就是说，对n（n-l）·2b＜l的任意n，都存在一个n段部分混同均衡，并且其第一段的长度为满足（4.3.1）式的相应的d值。由于第一段的长度必须是正的，这一均衡中，分段的最大可能数，n*（b），为使n（n-l）·2b＜l的最大的n值。运用二次方程求解的公式可得n*（b）为小于的最大的整数。它与在两段均衡中推导的结论是一致的，即当b≥1/4时，n*（b）=1：如果参与者间的偏好过于不一致，则不可能发生交流。还有就是前面讲过的，n*（b）随b的递减而增大，但只有当b趋于0时才趋于无穷：当参与者的偏好更为一致时，会发生更高程度的交流，但只有在参与者的偏好完全一致时，才可能达成完全交流。
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博弈论基础 [:1704417445]
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4.3.B 非对称信息下的序贯谈判
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考虑企业与工会就工资问题进行谈判的情况。为简化分析，假定雇佣的工人数是一定的。工会的保留工资（reservation wage）（即工会成员不受雇于该企业时仍可获得的收入）为wr。企业的利润用π表示，服从区间[πL，πH]上的均匀分布，但π的真实值却为企业的私人信息，例如企业在新产品计划阶段就掌握一些普通工人不知道的知识。我们假定wr=πL=0，以使表示更为简明。
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谈判博弈最多持续两个时期。在第一个时期，工会给出工资要价w1，如果企业接收该要价，则博弈结束：工会的收益为w1，企业收益为π-w1（上述收益为参与双方在商定的整个合同期间——一般为三年——工资与（净）利润的现值）。如果企业拒绝要价，博弈进入第二时期，工会给出第二个工资要价w2。如果企业接受这一要价则参与双方的收益现值分别为（按第一时期的口径）：工会δw2，企业δ（π-w2），这里的δ既反映了折现因素，又体现出因谈判延长使有效的合同期较第一期变短而带来的收益减少。如果企业拒绝工人的第二个要价，则博弈结束，双方参与者的收益均为0。在更为现实的模型中，可能会允许谈判一直进行下去，直至达成一致，或者在长时间的罢工之后，强制双方遵守有约束力的仲裁结果，参见索贝尔和高桥（1983）及习题4.12中对无限情况的分析。
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在这一模型中，定义及推导精炼贝叶斯均衡稍微有些复杂，但最终结果却很简单，又十分直观，因此我们首先给出此博弈惟一的精炼贝叶斯均衡，并由此开始进行分析。
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