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博弈论基础 [:1704417452]
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第4.3节
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4.8 解出下面空谈博弈的纯战略精炼贝叶斯均衡。自然赋予每一种类型的概率相等。和图4.3.1相同，每一单元格的第一个值表示发送者收益，第二个值表示接收者收益，但该图却不表示一个标准式博弈，而只是给出每一类型行动组合下参与者的收益情况。
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4.9 考虑第4.3.A节讨论的克劳福德和索贝尔空谈模型的例子：发送者的类型均匀分布于从0到1的区间（正式地，T=[0，1]且对T中的所有t，p（t）=1；行动空间是从0到1的区间（A=[0，1]），接收者的收益函数为UR（t，a）=-（a-t）2；发送者的收益函数为Us（t，a）=-[a-（t+b）]2。对什么样的b值，存在三段均衡？在三段均衡和二段均衡中，接收者的期望收益哪个更高？哪些类型的发送者在三段均衡中能够得到更高的收益？
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（习题4.4a）
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（习题4.4b）
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（习题4.6）
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4.10 两个合伙人必须就其合伙企业进行清算。合伙人1现在拥有的权益份额为s，合伙人2拥有1-s。两合伙人同意进行如下博弈：合伙人1提出一个价格p，然后合伙人2可以选择以ps的价格购买合伙人1的股份，或以p（1-s）的价格将自己的股份卖给合伙人1。假设两个合伙人对拥有全部企业价值的估价相互独立，且服从[0，1]区间的均匀分布，以上是共同知识。但每一合伙人的估价是私人信息。求出博弈的精炼贝叶斯均衡。
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4.11 买方和卖方对商品的估价分别为vb和vs。交易能够带来净收益（即vb＞vs）是共同知识，但收益的大小却是私人信息，具体情况如下：卖方的估价服从[0，1]区间的均匀分布；买方的估价vb=k·vs这里k＞1是共同知识；卖方了解vs（从而知道vb），但买方却不清楚vb（或vs）。假设买方给出一个单一买价p，卖方既可以接受，又可以拒绝。当k＜2时，博弈精炼贝叶斯均衡是什么？k＞2时呢？（参见萨缪尔森（1984））
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4.12 本题考虑第4.3.B节分析的两阶段谈判博弈无限期进行下去的情况。和前面的假定相同，企业对自己的利润（π）拥有私人信息，π服从[0，π0]区间的均匀分布，所有阶段都由工会提出工资要价，且有一个保留工资水平wr=0。
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在两阶段博弈中，如果π＞π1，企业接受工会的第一次要价（w1），这里的利润类型π1使下面两种情况无差异（i）接受w1；（ii）拒绝w1，并接受工会第二期的要价w2，这里w2是企业利润服从[0，π1]上的均匀分布且谈判到了最后一期时工会的最优要价。在无限期的情况下，与此不同的是，w2是企业利润服从[0，π1]上的均匀分布，且在谈判还要（潜在地）继续无限期地进行下去的条件下，工会的最优要价。尽管π1仍是使选择（i）和（ii）无差异的利润类型，w2的变化将导致π1也发生变化。
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始于无限期博弈第二期的后续博弈在性质上相当于整个博弈：依然存在潜在的无限期谈判，并且企业的利润仍服从0到一个上限间的均匀分布；惟一的区别就是这里的上限不再是π0，而变为π1。索贝尔和高桥（1983）证明，无限期博弈存在一个静态的精炼贝叶斯均衡。在这一均衡中，如果企业的利润服从0到π*之间的均匀分布，则工会开出的工资要价为w（π*）=bπ*，于是第一期的要价为bπ0，第二期为bπ1如此等等。如果工会选择上面的静态战略，企业的最优反应可以求得为π1=cπ0，π2=cπ1，如此等等，并且当企业利润服从0到π*区间的均匀分布时，工会期望收益的现值为V（π*）=dπ*。证明b=2d、且。
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4.13 企业和工会进行下面的两阶段谈判博弈。企业利润π服从0到1之间的均匀分布，工会的保留工资为wr，以上都是共同知识，只有企业才了解π的真实值。假定0＜wr＜1/2，求出下面博弈的精炼贝叶斯均衡：
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1.在第一阶段的开始，工会向企业提出一个工资要价w1；
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2.企业或接受或拒绝w1，如果企业接受w1，则两阶段都可以开工生产，于是工会的收益为2w1，企业收益为2（π-w1）（不考虑贴现因素）。如果企业拒绝w1，则第一期就没有产出，且企业和工会第一阶段的收益都等于0；
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3.在第二阶段的开始（假定企业拒绝了w1），企业向工会提出一个工资出价w2（不同于索贝尔和高桥的模型，这一出价不再由工会提出）；
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4.工会或接受或拒绝这一出价，如果工会接受w2，则第二期会有产出，于是第二期（也是全部）的收益为工会w2，企业π-w2（前面已讲过第一期的收益为0）。如果工会拒绝w2，则没有产出，工会在第二期赚得其保留工资w，企业关闭，收益为0。
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4.14 纳莱巴夫（Nalebuff，1987）分析了下面的原告和被告之间在开庭审判前谈判的模型。如果案件交到法庭，被告被迫支付给原告损害赔偿d，d服从从[0，1]区间的均匀分布，只有被告才知道d的真正值，以上是共同知识。交到法庭则使原告花费c＜1/2，但（为简单起见）不增加被告的成本。
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博弈时间顺序如下：（1）原告提出一个解决方案要约s；（2）被告选择接受和解（这时原告的收益为s，被告的收益为-s）或者拒绝；（3）如果被告拒绝s，则原告决定到法庭起诉，这时原告的收益为d-c，被告的收益为-d，或是放弃起诉，这种情况下双方参与者的收益都为0。