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图35 具有两个纯策略的博弈具有一个ESS。
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为了证明这个解是稳定的，考虑另一个可选策略q＝q（H）＋（1－q）（D）。由于策略I＝P（H）＋（1－P）（D）具有E（H，I）＝E（D，I）的性质，由此得到E（q，I）＝E（I，I）。因此，如果E（I，q）＞E（q，q）成立，那么策略I将是稳定的。
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现在
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由于C＞a，b＞d并且q≠p，由此可以得到E（I，q）＞E（q，q），因此策略I是稳定的。
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总之，H是一个ESS，或者D是一个ESS，或者H和D都是ESS，或者存在一个混合ESS。
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演化与博弈论 [:1704421375]
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三、Bishop-Canning定理
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Bishop-Cannings（1978）证明了下述定理：
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如果策略I是一个支撑（support）〔1〕纯策略a，b，c……的混合ESS，那么就有E（a，I）＝E（b，I）＝…E（I，I）。
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证明：假设纯策略a在策略I的支撑中，并且假设
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E（a，I）＜E（I，I）
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我们把策略I用P（a）＋（1－P）（X）的形式来表达，其中X是一个不同于策略a但也被策略I所采用的纯策略或者混合策略。
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那么就有
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E（I，I）＝PE（a，I）＋（1－P）E（X，I）
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＜PE（I，I）＋（1－P）E（X，I）
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因此 E（I，I）＜E（X，I）
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但是，如果I是一个ESS，那么上式就不可能成立。所以E（a，I）＜E（I，I）是不可能的。也是由于I是一个ESS，那么E（a，I）≤E（I，I）。
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因此，对于支撑I的任何一个纯策略a，都有
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E（a，I）＝E（I，I）
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定理得证。
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如果策略集是连续的，并且作为混合ESS的策略I由概率密度函数p（x）给出，那么该定理认为对于任一满足p（m）≠0的策略m，E（m，I）是一个常数。
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这一定理为演化博弈论建立了一个公认的事实，那就是如果一个混合策略I是对某个策略J的最优反应，那么对于任何一个支撑I的策略a，E（a，J）是一个常数。这一点在寻找混合ESS的候选策略时具有实用价值。当然，即使已经找到了这样一个候选策略，也仍然需要检验其稳定性，即对所有策略a检验不等式E（I，a）＞E（a，a）是否成立，其中a是纯策略或混合策略。
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