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我们把策略I用P（a）＋（1－P）（X）的形式来表达，其中X是一个不同于策略a但也被策略I所采用的纯策略或者混合策略。
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那么就有
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E（I，I）＝PE（a，I）＋（1－P）E（X，I）
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＜PE（I，I）＋（1－P）E（X，I）
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因此 E（I，I）＜E（X，I）
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但是，如果I是一个ESS，那么上式就不可能成立。所以E（a，I）＜E（I，I）是不可能的。也是由于I是一个ESS，那么E（a，I）≤E（I，I）。
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因此，对于支撑I的任何一个纯策略a，都有
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E（a，I）＝E（I，I）
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定理得证。
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如果策略集是连续的，并且作为混合ESS的策略I由概率密度函数p（x）给出，那么该定理认为对于任一满足p（m）≠0的策略m，E（m，I）是一个常数。
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这一定理为演化博弈论建立了一个公认的事实，那就是如果一个混合策略I是对某个策略J的最优反应，那么对于任何一个支撑I的策略a，E（a，J）是一个常数。这一点在寻找混合ESS的候选策略时具有实用价值。当然，即使已经找到了这样一个候选策略，也仍然需要检验其稳定性，即对所有策略a检验不等式E（I，a）＞E（a，a）是否成立，其中a是纯策略或混合策略。
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演化与博弈论 [:1704421376]
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四、动态性和稳定性
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假设参与竞争的个体可以采取一系列策略i，j……令pi和pi′分别为在连续的两个代际之间的个体采取策略i的频率。如果令Wi表示个体采取策略i的适应度，并且令为种群的平均适应度，那么
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方程组（D.1）用有限差分形式描述了种群的动态变化。它们可以被改写成：
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倘若每一个世代的变化都不是很大，那么上述方程组就可以用微分方程的形式将其替代，
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由于方程组（D.2）的右边部分都是除以了同一个函数，那么其轨线（flows）和不动点与下列方程是等价的
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很重要的一点是，只有在对称博弈中，一般性的方程组（D.2）和（D.3）才具有等价性。对非对称博弈的微分方程处理将在附录十中讨论。
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（D.3）所表述的方程组是由Taylor和Jonker（1978）以及Zeeman（1979）提出的，其目的是为演化博弈论提供连续性动力学。Eigen和Schuster（1977）使用等价的方程组来描述在生命起源的过程中不同类型分子的浓度。由于我们关注的都是一个无性繁殖种群的演化现象，因而这一个在相同的方程中的收敛现象并不令人惊奇。