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但是，如果I是一个ESS，那么上式就不可能成立。所以E（a，I）＜E（I，I）是不可能的。也是由于I是一个ESS，那么E（a，I）≤E（I，I）。
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因此，对于支撑I的任何一个纯策略a，都有
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E（a，I）＝E（I，I）
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定理得证。
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如果策略集是连续的，并且作为混合ESS的策略I由概率密度函数p（x）给出，那么该定理认为对于任一满足p（m）≠0的策略m，E（m，I）是一个常数。
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这一定理为演化博弈论建立了一个公认的事实，那就是如果一个混合策略I是对某个策略J的最优反应，那么对于任何一个支撑I的策略a，E（a，J）是一个常数。这一点在寻找混合ESS的候选策略时具有实用价值。当然，即使已经找到了这样一个候选策略，也仍然需要检验其稳定性，即对所有策略a检验不等式E（I，a）＞E（a，a）是否成立，其中a是纯策略或混合策略。
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演化与博弈论 [:1704421376]
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四、动态性和稳定性
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假设参与竞争的个体可以采取一系列策略i，j……令pi和pi′分别为在连续的两个代际之间的个体采取策略i的频率。如果令Wi表示个体采取策略i的适应度，并且令为种群的平均适应度，那么
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方程组（D.1）用有限差分形式描述了种群的动态变化。它们可以被改写成：
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倘若每一个世代的变化都不是很大，那么上述方程组就可以用微分方程的形式将其替代，
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由于方程组（D.2）的右边部分都是除以了同一个函数，那么其轨线（flows）和不动点与下列方程是等价的
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很重要的一点是，只有在对称博弈中，一般性的方程组（D.2）和（D.3）才具有等价性。对非对称博弈的微分方程处理将在附录十中讨论。
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（D.3）所表述的方程组是由Taylor和Jonker（1978）以及Zeeman（1979）提出的，其目的是为演化博弈论提供连续性动力学。Eigen和Schuster（1977）使用等价的方程组来描述在生命起源的过程中不同类型分子的浓度。由于我们关注的都是一个无性繁殖种群的演化现象，因而这一个在相同的方程中的收敛现象并不令人惊奇。
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有两个问题可问：第一，作为ESS判别条件的（2.4a，b）对动态系统稳定状态的判断究竟到怎样一个程度？第二，有限差分方程（D.1）和类型（D.3）的微分方程的行为之间存在什么差异？
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在考虑第一个问题时，关键是要意识到方程组（D.1）和（D.3）都是描述只有一个离散的并可以繁殖的策略集合存在的种群演化问题，那么一个稳定的状态就是一个稳定的遗传性多态现象，或者纯策略类型的混合。与之相反，满足方程（2.4a，b）的一个混合策略可以由单个个体所采取。在下文中，向量将表示一个多态种群中不同类型的频率，并且向量表示在一个混合策略中不同策略的采取频率。
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有下列结论成立：
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