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首先我们要说明的是，我们只需要考虑以下几种可选的策略序列，那就是CCCC……、DDDD……以及DCDC……这是因为除了这些策略之外，其他所有的策略在面对TFT策略时有没有更好的表现。
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首先我们注意到TFT只有对博弈的一期记忆，并且在任何时刻，后继博弈的期望次数总是一个常数。如果I是面对TFT策略所采取的一个策略序列，在任何时刻I采取一次C策略就可以把整场竞争回复到最初状态。同样地，如果I采取的第一个策略是D，在以后任意时刻实施一次D策略也可以把整场竞争恢复到最初状态。
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其次我们注意到如果I是TFT策略的最优反应，那么当最初的状态不断出现时，它必须采取第一步行动时它所采取的策略。如果在那个状态下存在一个更好的策略，那么它应该在一开始就采取过。
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于是我们得到一个最优反应必须具备下列三种形式之一：
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（1）首先采取策略C，于是最初的状态在第二次博弈中得以重复，并且策略C必须再次实施，并一以贯之。也就是说采取策略序列是CCCC……
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（2）首先采取策略D，然后选择策略C。于是最初的状态在第三次博弈中得以重复，并且策略D必须再次实施，并按此规则一直进行。也就是说采取策略序列是DCDCDC……
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（3）首先采取D策略，并且继续采取D策略，于是最初的状态在第三次博弈中得以重复，并且D会被一直实施下去。也就是说采取策略序列是DDDD……
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现在，我们容易看出在三种可选择情形中，那一种场合可以侵害种群。
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TFT策略面对其自身所得回报为：
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R＋wR＋w2R＋…＝R/（1－w）；
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策略CCCC……面对TFT策略所得回报与上式相同，所以CCCC……不可能侵害种群；
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策略DCDCDC……面对TFT策略所得回报为：
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T＋wS＋w2T＋w3S＋…＝（T＋wS）/（1－w2）
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策略DDDD……面对TFT策略所得回报为：
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T＋wP＋w2P＋…＝T＋wP/（1－w）
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倘若不等式R/（1－w）≥（T＋wS）/（1－w2）以及R/（1－w）≥T＋wP/（1－w）成立，那么TFT就是一个ESS。这就是要求
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且
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于是，如果w足够大，那么以牙还牙策略就一定是博弈的ESS。
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〔1〕 如果纯策略a，b，c……在混合策略I中以非零的概率被采取，那么我们就说纯策略a，b，c……是策略I的支撑。
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演化与博弈论 [:1704421384]
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演化与博弈论 主要术语解释
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“策略（strategy）”是指，一个个体在自己所知的处境中，对它将采取的行动作出的一个设定。一个策略可能是“纯”的也可能是“混合”的，后一种情形表明在行为设定中存在随机性的因素。
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“行动（action）”是指，在一个特定的情形中，个体所表现的行为。