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以下注意事项能使我们了解：
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（a）混为一谈问题（误将石油价格上涨归结为地缘政治，或者误将赢钱的赌博归功于良好的预测，而不是收益和可选择性的凸性效应）的严重程度。
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（b）为什么任何具有可选择性的事物都具有长期优势——以及如何来衡量它。
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（c）以上两点合并：混为一谈和可选择性。
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回想一下我们在第18章中讨论的交通问题，第一个小时有9万辆汽车，后一个小时有11万辆车，虽然平均每个小时有10万辆车，但将造成可怕的交通拥堵。另外，假设在两个小时内，每小时都有10万辆车通过，则交通将保持畅通，行车时间也不会很长。
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汽车数量是某种东西，也是一个变量；交通时间是该变量的函数，而函数的行为与变量的行为，正如我们所说的，“不是一回事”。在这里我们可以看到，由于非线性，某个变量的函数与某个变量的行为会有很大差别。
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（a）非线性越大，变量的函数与变量本身的行为差异就越大。如果交通是线性的，那么先是9万辆车，然后是11万辆车，与始终是10万辆车这两种情况下的交通时间不会有什么区别。
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（b）变量越不稳定，即不确定性越强，则函数与变量本身的区别就越大。让我们再想想平均汽车数量的问题。函数（交通时间）更取决于围绕平均数的波动性。如果车流量分布均匀，则交通情况就会缓解。对于相同的平均值，你可能更喜欢一直保持10万辆车的情况，如果先有8万辆车，然后有12万辆车，那么将比先有9万辆车、后有11万辆车的交通情况更糟。
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（c）如果该函数呈现凸性（反脆弱性），那么变量函数的平均值将比变量平均值的函数要高。这就是炼金石，如果函数是凹性的（脆弱性），那么情况则相反。
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让我们来看一个例子，假设我们讨论的函数是平方函数（数字乘以本身）。这是一个凸函数。拿一个传统的骰子（六面），掷到几点，你的回报就是几点，也就是你获得的收入与骰子显示的数字相等——掷到1点，那么你的收入就是1，掷到2点，你的收入就是2，最高的收入是6，如果你能掷到6点的话。那么预期（平均）收益的平方就是（1 +2 +3 +4 +5 +6除以6）2= 3.52，即12.25。因此，收入平均值的函数等于12.25。
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但是函数的平均值的计算方法如下，拿每种收益的平方12+22+32+42+52+62除以6，就得到了函数的平均值，等于15.67。
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所以，既然平方函数是凸函数，那么收益平方的平均值就比平均收益的平方要大。在这里，15.67和12.25之差就是我所说的反脆弱性的隐性利益——这里有28%的差异。
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这里面有两个偏见：一个是基本的凸性效应，导致人们误将某样东西的平均数（这里是3.5）的特点，和某样东西的凸函数平均数（这里是15.17）混为一谈。第二个偏见比较复杂，是误将函数的平均数当作平均数的函数，这里是指误将15.17当作12.25，后者代表可选择性。
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如果我们的收益是线性的，那么我们在50%以上的时间内都不能犯错。而如果我们的收益是凸性的，不能犯错的时间就要少得多。反脆弱性的隐性利益在于，你犯的错可以多于随机性错误，但最后仍有出色业绩。这里少不了可选择性的力量——变量的函数是凸性的，所以你可以在犯错的情况下仍有不错的收益——不确定性越高越好。
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这就解释了我说过的话，你可以愚蠢，但只要具有反脆弱性，表现仍然会很好。
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这个隐性的“凸性偏见”源于一个叫作詹森不等式的数学属性。这恰恰是有关创新的论述中被忽略的一个概念。如果你忽略了凸性偏见，那么你就忽略了让这个非线性的世界运转的一个重要因素。然而，这一概念确实被我们忽略了，这是事实，很抱歉。
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如何化金为土：反炼金石
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让我们看看相同的例子，只不过这次是平方根函数（与平方函数恰好相反，它是凹性的，但其凹性要小于平方函数的凸性）。
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预期（平均）收益的平方根是，等于，即1.87。也就是平均值的函数等于1.87。
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但是，函数的平均值的计算方法如下。取每种收益的平方根，除以6，就是收益平方根的平均值，也就是该函数的平均值等于1.80。
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两者的差额就是所谓的“负凸性偏见”（或者，如果你是一个挑剔的人，我们也可称其为“凹性偏见”）。脆弱性的隐性伤害是，你的预测需要比随机预测的结果好得多，你得知道你要往哪里去，才能抵消负面影响。
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让我总结一下我的论点：如果你拥有有利的不对称性，或正凸性（选择权是特例），从长远来看，你会做得相当不错，在不确定的情况下表现优于平均数。不确定性越强，可选择性的作用越大，你的表现就越好。这个属性对人生来说非常重要。
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