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以下注意事项能使我们了解:
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(a)混为一谈问题(误将石油价格上涨归结为地缘政治,或者误将赢钱的赌博归功于良好的预测,而不是收益和可选择性的凸性效应)的严重程度。
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(b)为什么任何具有可选择性的事物都具有长期优势——以及如何来衡量它。
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(c)以上两点合并:混为一谈和可选择性。
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回想一下我们在第18章中讨论的交通问题,第一个小时有9万辆汽车,后一个小时有11万辆车,虽然平均每个小时有10万辆车,但将造成可怕的交通拥堵。另外,假设在两个小时内,每小时都有10万辆车通过,则交通将保持畅通,行车时间也不会很长。
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汽车数量是某种东西,也是一个变量;交通时间是该变量的函数,而函数的行为与变量的行为,正如我们所说的,“不是一回事”。在这里我们可以看到,由于非线性,某个变量的函数与某个变量的行为会有很大差别。
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(a)非线性越大,变量的函数与变量本身的行为差异就越大。如果交通是线性的,那么先是9万辆车,然后是11万辆车,与始终是10万辆车这两种情况下的交通时间不会有什么区别。
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(b)变量越不稳定,即不确定性越强,则函数与变量本身的区别就越大。让我们再想想平均汽车数量的问题。函数(交通时间)更取决于围绕平均数的波动性。如果车流量分布均匀,则交通情况就会缓解。对于相同的平均值,你可能更喜欢一直保持10万辆车的情况,如果先有8万辆车,然后有12万辆车,那么将比先有9万辆车、后有11万辆车的交通情况更糟。
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(c)如果该函数呈现凸性(反脆弱性),那么变量函数的平均值将比变量平均值的函数要高。这就是炼金石,如果函数是凹性的(脆弱性),那么情况则相反。
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让我们来看一个例子,假设我们讨论的函数是平方函数(数字乘以本身)。这是一个凸函数。拿一个传统的骰子(六面),掷到几点,你的回报就是几点,也就是你获得的收入与骰子显示的数字相等——掷到1点,那么你的收入就是1,掷到2点,你的收入就是2,最高的收入是6,如果你能掷到6点的话。那么预期(平均)收益的平方就是(1 +2 +3 +4 +5 +6除以6)2= 3.52,即12.25。因此,收入平均值的函数等于12.25。
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但是函数的平均值的计算方法如下,拿每种收益的平方12+22+32+42+52+62除以6,就得到了函数的平均值,等于15.67。
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所以,既然平方函数是凸函数,那么收益平方的平均值就比平均收益的平方要大。在这里,15.67和12.25之差就是我所说的反脆弱性的隐性利益——这里有28%的差异。
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这里面有两个偏见:一个是基本的凸性效应,导致人们误将某样东西的平均数(这里是3.5)的特点,和某样东西的凸函数平均数(这里是15.17)混为一谈。第二个偏见比较复杂,是误将函数的平均数当作平均数的函数,这里是指误将15.17当作12.25,后者代表可选择性。
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如果我们的收益是线性的,那么我们在50%以上的时间内都不能犯错。而如果我们的收益是凸性的,不能犯错的时间就要少得多。反脆弱性的隐性利益在于,你犯的错可以多于随机性错误,但最后仍有出色业绩。这里少不了可选择性的力量——变量的函数是凸性的,所以你可以在犯错的情况下仍有不错的收益——不确定性越高越好。
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这就解释了我说过的话,你可以愚蠢,但只要具有反脆弱性,表现仍然会很好。
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这个隐性的“凸性偏见”源于一个叫作詹森不等式的数学属性。这恰恰是有关创新的论述中被忽略的一个概念。如果你忽略了凸性偏见,那么你就忽略了让这个非线性的世界运转的一个重要因素。然而,这一概念确实被我们忽略了,这是事实,很抱歉。
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如何化金为土:反炼金石
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让我们看看相同的例子,只不过这次是平方根函数(与平方函数恰好相反,它是凹性的,但其凹性要小于平方函数的凸性)。
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预期(平均)收益的平方根是,等于,即1.87。也就是平均值的函数等于1.87。
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但是,函数的平均值的计算方法如下。取每种收益的平方根,除以6,就是收益平方根的平均值,也就是该函数的平均值等于1.80。
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两者的差额就是所谓的“负凸性偏见”(或者,如果你是一个挑剔的人,我们也可称其为“凹性偏见”)。脆弱性的隐性伤害是,你的预测需要比随机预测的结果好得多,你得知道你要往哪里去,才能抵消负面影响。
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让我总结一下我的论点:如果你拥有有利的不对称性,或正凸性(选择权是特例),从长远来看,你会做得相当不错,在不确定的情况下表现优于平均数。不确定性越强,可选择性的作用越大,你的表现就越好。这个属性对人生来说非常重要。
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