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1988年，他为什么要在《科学》杂志发表这样一篇讨论数学的本质的文章呢?这篇文章的题目叫做“The Science of Patterns”——关于模式的科学。作者要论证的是，今天的数学应当被定义成为研究一切“patterns”（模式）的学问。数学家所研究的，其实是大自然、人类社会以及心理状态中出现的各种模式。这样的看法，似乎把数学家们当做计算机，用于“模式识别”了。但这一定义，在今天看来比古代的定义更符合现代数学的实质。
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那么，社会科学研究什么事情呢?我们知道，它研究“人”。在社会科学和数学之间，至少有这样一座桥梁，那就是：你们这些数学家在作为“人”思考数学问题的时候，我们这些社会科学家或哲学家，作为研究者，倾向于这样看这件事情——首先，我们面前有一位数学系学生，他在思考数学问题，他的思想，我们叫做“意向行为”（intentional action），有意向的一种行动，是“思想行动”；而他的思想的内容，我们叫做“意向内容”（intentional content）。如果你在考虑“1+1”为什么要等于“2”这样一道数学题，那么当你在思考的时候，你想的那些内容，你的意识的内容，也就是你的意向行为的内容。这一点非常重要，因为这样我们研究者就可以把数学家的思想行动与这一思想行动作用于其上的思想内容区分开来了。
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对于“数学家在思想”这件事情，我们社会科学家还可以提出这样一些问题：（1）数学行为的意向内容，它是在我们这个世界里，还是在天上？例如，像毕达哥拉斯相信的那样，或者像柏拉图相信的那样，它根本不属于我们这个世界。（2）当数学家思考数学问题的时候，他的这种行为，这一思想行动本身，是属于此世，还是不属于此世?例如，数学行为本身具有某种神圣性，它在天上发生，然后下降到某一数学家身上。又或者，数学行为是此岸的人向着彼岸某种理念的努力接近，从必然世界向着“自由”的某种意向。
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上面我们提出了四个问题，你们明白了吗?意向行动，意向内容，此岸世界，彼岸世界。这两组概念，两两组合，一共是四种可能性。还有些同学不明白，大概你们在数学系从不考虑神学问题吧?四种可能性：（1）数学意向属于彼岸世界，（2）数学意向属于此岸世界，（3）数学意向的内容属于彼岸世界，（4）数学意向的内容属于此岸世界。
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社会科学家既然研究人类行为和人类社会，他们就完全可以把我们数学家的思考当做人类数学思考来研究，当做一种特殊的人类行为，成为社会科学研究的对象。不过，上列四种可能性，研究起来错综复杂。我希望你们能想清楚，我相信数学系学生肯定能想清楚。
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现在，社会科学本身，它有它自己研究人类行为的基本方法。那么，它的基本方法是从哪儿来的呢?我们社会科学家同样需要用上列四种可能性来反问自己。
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但是我首先说明，社会科学方法，首先是要服从形式逻辑。否则，社会科学的“科学”这两个字就不合法了，它就不能叫“社会科学”了。这样，我们可以把“非逻辑”的方法排除在社会科学方法的范畴之外。例如，“顿悟”、“通灵术”、“萨满仪式”等等，都不能成为社会科学的方法。
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社会科学家用符合逻辑的方法来研究数学行为，试图整理出一种符合逻辑体系的看法，或者“模式”。这样就带出来两个问题，让我解释一下。基于形式逻辑的社会科学方法，它有两个最重要的特征。第一个特征，它要求实证性。社会科学的命题必须可以在经验世界里得到证实或证否。这一特征把社会科学与数学区分开来了。第二个特征，社会科学家经常不使用分析的方法而是使用归纳的方法。因为社会科学的定律——注意是“定律”而不是“定理”——不可能用分析演绎的方法来证明，社会科学家必须从现象归纳出一些规律，这些规律不是公理性的，而是统计意义上的“模式”。
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以上两个特征，是社会科学方法在本质上不同于数学方法之处。社会科学与数学在方法上的相同之处，如上所述，就是它们都服从形式逻辑。
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但是一谈到“逻辑”，又出现了一开始我们提出的那类问题，逻辑可能在这个世界之外。我刚才说了，古典的数学定义，从柏拉图以前就认定：数，是共相，是天上的东西，不是局限于我们这个世界之内的。按照柏拉图的“洞穴隐喻”或者“理念说”，我们生下来，脑子里已经有了数学的种子，然后通过意向性的数学行为，逐渐让这颗种子发芽，谓之“启蒙”。启蒙之后，我们就能够认识那些原本在彼岸的数以及数之间的关系，这些事物叫做“共相”。这是柏拉图式的启蒙。按照古希腊人的看法，数学是最好的启蒙途径。“不懂得几何学的人请勿入内”，这是“柏拉图学园”大门口上铭刻的一句话。
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一旦你启蒙了，柏拉图认为，你的灵魂就开始有了理性。于是，灵魂的其他两个方面——激情与欲望——就有了理性指导，就受了理性的驾驭，你就是一个正常的人了。
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到了康德的时代，康德依然认定，数学概念是所谓“先天综合概念”。什么是先天综合概念呢?我给出一个简单定义，先天综合概念，就是无须此世经验的证实就已在此世表明了其真确性的那些概念。注意，首先，它们是关于这个世界的经验的概念。其次，它们的真确性不需要借助于这个世界里的经验来证实，它们是“先天”地真确的。所有的数学概念，康德在《逻辑学讲义》里说过，都是或者几乎都是先天综合的，都不是后天综合的或后天分析的，都不依赖于后天的经验。
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康德的思路，于是又把我们向神秘主义的方向带近了一步。现在我要介绍的，就是同学们想必都很熟悉的一位数学家，1966年才去世的布劳威尔（L. E. J. Brouwer）。我在路上突然改变思路，就是因为想到了这位直觉主义数学家的奇特思想和生活经历。
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今天，“布劳威尔不动点定理”，被认为是经济学和整个社会科学的理论基石之一。上面说过，社会科学需要服从形式逻辑，同时，需要以逻辑推演的方式得到能够以统计规律加以检验的命题。如果我们把社会看做是一群具有理性选择能力的个人行为之间的交互作用的结果，那么这一交互作用的过程是否能达到某种均衡状态，在逻辑上就取决于这一互动过程是否存在着“不动点”。布劳威尔不动点定理，给出了最重要的一类不动点的存在性的条件。简单地说，他证明：圆盘上的连续函数必有不动点。后来，这一定理被许多数学家加以拓广，导致了“角谷不动点定理”。正是角谷定理，成为今天博弈学家们论证均衡存在性的最重要的定理之一。另外还有两个重要的不动点定理，其一叫做“巴拿赫压缩映像原理”，其二叫做“塔尔斯基不动点定理”。布劳威尔坚持“直觉主义”立场，故而与当时世界数学界的领袖希尔伯特所倡导的“公理主义”立场发生了正面冲突。什么叫数学“直觉主义”呢?我来念这段英文吧，数学直觉主义认为：“It is impossible to define the properties of mathematical objects simply by establishing a number of axioms.”直译：不可能借助一些公理就界定数学实体的性质。所以按照直觉主义的立场，希尔伯特的公理主义纲领是不可能实行的，它不可能成功。也就是说，你打算用一组数目有限多的公理所构成的“公理体系”来描述任何一个数学实体，这是不可能的事情。为了认识数学实体的性质，你必须依靠直觉，而不是依靠形式逻辑。
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布劳威尔以1907年的博士论文直接参与了庞加莱和罗素关于数学基础的论争，于是成为世界数学界的主要角色之一。1907年他发表的这篇博士论文的题目是：“The Unreliability of the Logical Principles”，直译：逻辑原理的不可靠性。从这里，我们可以看出数学直觉主义者对形式逻辑方法是极端不信任的。
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我们知道，1900年，希尔伯特在世界数学大会上提出了所谓“希尔伯特问题”——一共23个问题，他试图用发现核心问题和采取公理化证明的方式来推进数学发展。事实上，希尔伯特的这一纲领非常成功，它几乎完全决定了20世纪数学发展的各个主要方向。
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大约在1912年的时候，布劳威尔以直觉主义领袖的身份和以对希尔伯特纲领的强烈批判而著称。但为了让他获得阿姆斯特丹大学数学讲座教授的席位，希尔伯特努力向该大学推荐布劳威尔。借助于希尔伯特的声望，布劳威尔得到了这个教席。
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布劳威尔晚年表述了这样的看法：社会不仅通过伦理或者道德来控制人们的行为，而且还通过语言来控制人们的思想。因此，为抗拒社会对自由思想的控制，布劳威尔在晚年很少说话，因为他不愿意使用语言，他希望最大限度地使用直觉。当时，他独自在荷兰的穷乡僻壤里生活，实行素食主义，如东方僧侣那样生活。我相信他还练习瑜伽，因为只有这样，他才能够沉潜在数学直觉和各种灵感当中。注意，那是印度的神秘主义，还不是咱们中国的神秘主义。中国思想总是不太神秘，不足够神秘，故而对大思想家缺乏吸引力。这样，据我的考证，布劳威尔在大约1905年的时候，走入了神秘主义。关于布劳威尔的传记非常少，我从北大找到一些文本，因为我研究奥地利学派经济学的时候，曾因布劳威尔与小门格尔之间的师生关系，专门研究了他的生平。
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你们都知道代数学家范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）吧?你们在数学系现在还学不学范德瓦尔登的《代数学》（Ⅰ）和（Ⅱ）?我们当时都是借这本书研习抽象代数的。范德瓦尔登当时在荷兰阿姆斯特丹大学听布劳威尔讲课，事实上，他是布劳威尔的助教。他曾记录了下面这段故事。
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他说，布劳威尔当时全面怀疑他自己曾作过的贡献，即他在拓扑学领域包括不动点定理的研究方面的重大贡献，当然，他也怀疑其他的数学定理的可靠性，包括“希尔伯特问题”里面的若干问题。
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他写道：“老师上课只谈直觉主义，他只看黑板，根本就不看学生，并且不许任何人提问。”不许!有一次作为他的助教，范德瓦尔登在课堂上提了一个问题。在下一次上课之前，布劳威尔的另外一个助教专程跑到范德瓦尔登的宿舍里对他说：布劳威尔不愿意听到任何问题，包括你的问题。
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你们都知道《美丽心灵》，你们都知道纳什。在纳什的博弈论研究中，怎样证明“纳什均衡”的存在性定理呢?纳什最初的努力，就是运用了布劳威尔的“fixed-points theorem”。如果没有布劳威尔不动点定理，从数学思想史我们可以推测，就不可能有，或者很难有“纳什定理”，那么当然也就不会有社会科学今天的全面发展。
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甚至可以说，没有均衡存在性的证明，整个社会科学便是毫无意义的。因为社会交往过程，如果我们不知道它是否可能找到均衡，我们就无法保证社会科学研究的实证性，即上述的社会科学方法的第一个特征。而没有实证性的命题，对社会科学家而言，只是一堆垃圾，没有意义，因为无法把它拿来与社会现象的统计规律相验证。
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只有均衡的行为，才成为“行为模式”。均衡，对社会科学家意味着“可观察”。它每日每时都在发生，它今天重复昨天，明天重复今天，故而称为“均衡”。它不会发生变化，它不偏离它的状态，于是它在时间上就被凝固了，就变成静态的了，于是它就有它的逻辑，静态的逻辑形式。于是，我们就可以把它当做“科学”来研究。如果不均衡，永远不均衡，那我们就回到了赫拉克利特的“永恒的流变”，永远无法观察到“模式”，永远无法研究社会现象，因为社会如同流变的河，不可琢磨，不可把握，不可理解。所以，我认为社会科学家们不能同意布劳威尔的看法，不能抛弃不动点定理。
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我在大学数学系的毕业论文，主题就是“拓扑学不动点定理的证明”。我依稀记得，当时我查到过布劳威尔的一篇文章，他批判他自己的定理，理由是那一定理的证明过程违反了直觉主义的基本原则。
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