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到了康德的时代，康德依然认定，数学概念是所谓“先天综合概念”。什么是先天综合概念呢?我给出一个简单定义，先天综合概念，就是无须此世经验的证实就已在此世表明了其真确性的那些概念。注意，首先，它们是关于这个世界的经验的概念。其次，它们的真确性不需要借助于这个世界里的经验来证实，它们是“先天”地真确的。所有的数学概念，康德在《逻辑学讲义》里说过，都是或者几乎都是先天综合的，都不是后天综合的或后天分析的，都不依赖于后天的经验。
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康德的思路，于是又把我们向神秘主义的方向带近了一步。现在我要介绍的，就是同学们想必都很熟悉的一位数学家，1966年才去世的布劳威尔（L. E. J. Brouwer）。我在路上突然改变思路，就是因为想到了这位直觉主义数学家的奇特思想和生活经历。
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今天，“布劳威尔不动点定理”，被认为是经济学和整个社会科学的理论基石之一。上面说过，社会科学需要服从形式逻辑，同时，需要以逻辑推演的方式得到能够以统计规律加以检验的命题。如果我们把社会看做是一群具有理性选择能力的个人行为之间的交互作用的结果，那么这一交互作用的过程是否能达到某种均衡状态，在逻辑上就取决于这一互动过程是否存在着“不动点”。布劳威尔不动点定理，给出了最重要的一类不动点的存在性的条件。简单地说，他证明：圆盘上的连续函数必有不动点。后来，这一定理被许多数学家加以拓广，导致了“角谷不动点定理”。正是角谷定理，成为今天博弈学家们论证均衡存在性的最重要的定理之一。另外还有两个重要的不动点定理，其一叫做“巴拿赫压缩映像原理”，其二叫做“塔尔斯基不动点定理”。布劳威尔坚持“直觉主义”立场，故而与当时世界数学界的领袖希尔伯特所倡导的“公理主义”立场发生了正面冲突。什么叫数学“直觉主义”呢?我来念这段英文吧，数学直觉主义认为：“It is impossible to define the properties of mathematical objects simply by establishing a number of axioms.”直译：不可能借助一些公理就界定数学实体的性质。所以按照直觉主义的立场，希尔伯特的公理主义纲领是不可能实行的，它不可能成功。也就是说，你打算用一组数目有限多的公理所构成的“公理体系”来描述任何一个数学实体，这是不可能的事情。为了认识数学实体的性质，你必须依靠直觉，而不是依靠形式逻辑。
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布劳威尔以1907年的博士论文直接参与了庞加莱和罗素关于数学基础的论争，于是成为世界数学界的主要角色之一。1907年他发表的这篇博士论文的题目是：“The Unreliability of the Logical Principles”，直译：逻辑原理的不可靠性。从这里，我们可以看出数学直觉主义者对形式逻辑方法是极端不信任的。
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我们知道，1900年，希尔伯特在世界数学大会上提出了所谓“希尔伯特问题”——一共23个问题，他试图用发现核心问题和采取公理化证明的方式来推进数学发展。事实上，希尔伯特的这一纲领非常成功，它几乎完全决定了20世纪数学发展的各个主要方向。
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大约在1912年的时候，布劳威尔以直觉主义领袖的身份和以对希尔伯特纲领的强烈批判而著称。但为了让他获得阿姆斯特丹大学数学讲座教授的席位，希尔伯特努力向该大学推荐布劳威尔。借助于希尔伯特的声望，布劳威尔得到了这个教席。
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布劳威尔晚年表述了这样的看法：社会不仅通过伦理或者道德来控制人们的行为，而且还通过语言来控制人们的思想。因此，为抗拒社会对自由思想的控制，布劳威尔在晚年很少说话，因为他不愿意使用语言，他希望最大限度地使用直觉。当时，他独自在荷兰的穷乡僻壤里生活，实行素食主义，如东方僧侣那样生活。我相信他还练习瑜伽，因为只有这样，他才能够沉潜在数学直觉和各种灵感当中。注意，那是印度的神秘主义，还不是咱们中国的神秘主义。中国思想总是不太神秘，不足够神秘，故而对大思想家缺乏吸引力。这样，据我的考证，布劳威尔在大约1905年的时候，走入了神秘主义。关于布劳威尔的传记非常少，我从北大找到一些文本，因为我研究奥地利学派经济学的时候，曾因布劳威尔与小门格尔之间的师生关系，专门研究了他的生平。
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你们都知道代数学家范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）吧?你们在数学系现在还学不学范德瓦尔登的《代数学》（Ⅰ）和（Ⅱ）?我们当时都是借这本书研习抽象代数的。范德瓦尔登当时在荷兰阿姆斯特丹大学听布劳威尔讲课，事实上，他是布劳威尔的助教。他曾记录了下面这段故事。
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他说，布劳威尔当时全面怀疑他自己曾作过的贡献，即他在拓扑学领域包括不动点定理的研究方面的重大贡献，当然，他也怀疑其他的数学定理的可靠性，包括“希尔伯特问题”里面的若干问题。
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他写道：“老师上课只谈直觉主义，他只看黑板，根本就不看学生，并且不许任何人提问。”不许!有一次作为他的助教，范德瓦尔登在课堂上提了一个问题。在下一次上课之前，布劳威尔的另外一个助教专程跑到范德瓦尔登的宿舍里对他说：布劳威尔不愿意听到任何问题，包括你的问题。
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你们都知道《美丽心灵》，你们都知道纳什。在纳什的博弈论研究中，怎样证明“纳什均衡”的存在性定理呢?纳什最初的努力，就是运用了布劳威尔的“fixed-points theorem”。如果没有布劳威尔不动点定理，从数学思想史我们可以推测，就不可能有，或者很难有“纳什定理”，那么当然也就不会有社会科学今天的全面发展。
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甚至可以说，没有均衡存在性的证明，整个社会科学便是毫无意义的。因为社会交往过程，如果我们不知道它是否可能找到均衡，我们就无法保证社会科学研究的实证性，即上述的社会科学方法的第一个特征。而没有实证性的命题，对社会科学家而言，只是一堆垃圾，没有意义，因为无法把它拿来与社会现象的统计规律相验证。
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只有均衡的行为，才成为“行为模式”。均衡，对社会科学家意味着“可观察”。它每日每时都在发生，它今天重复昨天，明天重复今天，故而称为“均衡”。它不会发生变化，它不偏离它的状态，于是它在时间上就被凝固了，就变成静态的了，于是它就有它的逻辑，静态的逻辑形式。于是，我们就可以把它当做“科学”来研究。如果不均衡，永远不均衡，那我们就回到了赫拉克利特的“永恒的流变”，永远无法观察到“模式”，永远无法研究社会现象，因为社会如同流变的河，不可琢磨，不可把握，不可理解。所以，我认为社会科学家们不能同意布劳威尔的看法，不能抛弃不动点定理。
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我在大学数学系的毕业论文，主题就是“拓扑学不动点定理的证明”。我依稀记得，当时我查到过布劳威尔的一篇文章，他批判他自己的定理，理由是那一定理的证明过程违反了直觉主义的基本原则。
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直觉主义最核心的看法是：“数学是心灵构造的直观”，这是布劳威尔的原话。也就是说，首先，你的心灵已经直观到了某一种数学结构，然后，你试图用人类能够理解的语言把这一直观表达出来。这就是“数学”，是直觉主义数学。显然，这一看法与柏拉图的看法一致：每个人心中都有理念的种子，教育是为这个种子启蒙。
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但是，布劳威尔走得更远。他认为，既然如此，既然数学是我们心灵的数学直观，那么他就必须在有限的步骤内建构他心灵的数学直观。因为超过有限步骤，心灵就不能直观。这是数学直觉主义给全体数学家们提出的一个问题，我称之为“数学根本问题”。
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数学根本问题
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每一学科，如果长期生存下来的话，都有自己的根本问题。社会科学有它自己的根本问题，那就是西美尔在1910年提出来的：“社会为何可能?”数学，既然生存了几千年，当然也有自己的根本问题。例如，你可以模仿西美尔的问题，说数学根本问题是：“数为何可能?”但是如此询问下去，几乎所有的学科就都可以有自己的根本问题了。例如，人口学根本问题：“人口何以可能?”但是我们知道，人口学是一门过渡性的学科，它没有自己的根本问题。
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所以，每一学科的根本问题还需要到那一学科内部去寻求，不是很容易就可以模仿西美尔的。你们可以认为，希尔伯特提出的28个数学问题，里面包含了或者预示了数学的根本问题，这需要论证。总之，一个学科围绕自己的根本问题展开自身。
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社会科学，为了回答它自己的根本问题，即“How is a society possible”发展了一系列重要的看法。例如，哈耶克提出来的，资本主义制度的实质在于它是“人类合作秩序的扩展过程”。这就是对社会科学根本问题的一个阶段性的解答。此外，最近若干年内涌现出一些对西美尔问题的回答，其中我最喜欢介绍的，是桑塔菲学派一位经济学家的回答。
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“数为什么可能?”姑且不论证它是否为一根本问题，如果我们承认它是一个值得思考的问题，那么对这样一个问题的思考所引出的问题就是：人作为一种生命有限且理性能力有限的智慧物种，他怎么可能认识无限呢?你们做练习题时，求极限，你们知道我的问题的意思，人怎么可能认识无限——我把这个问题叫做“数学根本问题”。数学还可以有许多其他的问题，但对我理解的数学而言，那些都不是根本问题。
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布劳威尔被称为数学领域的尼采，他以超越的眼光重估了一切价值……一切，包括希尔伯特的纲领，包括亚里士多德以来无人敢怀疑的逻辑基本定律。逻辑学有三条基本定律，你们在数学分析课的引论部分应当都学过了：同一律，无矛盾律，排中律。同一律，就是A=A，这总是可以成立的吧?总不能怀疑吧?无矛盾律，就是A≠A，你不能说，“此时此地正下着雨并且不下雨”。最后，排中律，它最重要而且最麻烦，引起了直觉主义与公理主义之间的长期争议，它声称，A或者A等于整个“universe”——即该命题适用的定义域（domain）。这样，你如果要检验排中律的话，你就必须逐一检验空间内的每一点，而这通常是一个无限过程。换句话说，“A或者A”，例如，“下雨或不下雨”这一命题，它所适用的一切场合和时间，你都必须逐一检验。因此，当你无法在有限多次的步骤里加以检验，当你并没有亲自检验一切可能出现的情况时，你怎么可以相信这一命题的完全真确性呢?所以这一类命题不符合数学直觉主义，因为它们不是心灵直观可以相信的。
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布劳威尔这一学派，因为强调直觉主义的数学立场，不能同意排中律的合法性，不能承认依赖于排中律所证明的任何数学定理。直觉主义者认为数学定理的合法的证明，应当是一个建构过程，而不是采取“反证法”的过程。因为任何建构性的证明都是在有限步骤内可以完成的。例如，命题：“在100以内的任何偶数与奇数相加等于一个奇数”，在有限多步骤内，可以用穷举法一一加以检验，符合直觉主义立场，故而由此而证明的命题，在数学上具有合法性，它是可靠的。
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有没有办法建构完整的数学体系呢?我们知道，波兰数学的“华沙学派”的努力一直是建构性的。这是逻辑学里面最重要的一个学派，它为人类贡献了最重要的一些逻辑学家，例如巴拿赫（Stefan Banach），例如塔尔斯基，还有几位重要的数学家，都是华沙学派培养出来的。他们服从这样的信条：不使用排中律。
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