1704545706
你们知道“康托悖论”吧?他问：“一切集合的集合是什么?”对于这个问题，如上所述，数学家必须反思他自己的数学行为，必须一层一层地上升到无限高的层次。无限，注意，把上述那个过程取极限，如果你能想像这个极限的话，你也就到了康托精神崩溃的边缘了。
1704545707
1704545708
康托在写给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）——戴德金，你们在数学系第一年学习时就应该知道了，所谓“戴德金切割”——的一封私人信件里说，他的集合论，他用“对角线法”证明了有理数集是可数的，也就是有理数集一一对应于自然数集。这导致了希尔伯特的第一个问题，所谓“连续统假设”问题。希尔伯特第一问题，今天已经解决了，被哥德尔解决了。连续统假设是什么呢?这一假设认定：不存在这样一个集合，它的“势”——一种表达无限集合的元素的数量的方法——比实数集小，同时比自然数集大。这很令人惊讶，因为自然数集合多么离散呀，可是比它的势更大的，就是实数集合的势，就是连续统或实数轴，没有居于这二者之间的。
1704545709
1704545710
康托觉得无限集的上述性质，太令人费解，不可思议，具有悖论的性质。他无法摆脱这一由“无限”引起的困境，于是他就给戴德金写了一封私人信函，在那里，他写了这样一句话：“God is the absolute infinite”。注意，他使用“绝对无限”（absolute infinite）来刻画上帝。认知者一个层次一个层次地向上建构，最终在这一过程的极限处，认知者必须试图理解“一切集合的集合”，即包含一切层次的层次。有这件事情吗?从哥德尔的论述，今天我们知道，我们不可能无矛盾地描述“一切集合的集合”。对于人类理性和逻辑，这是不可能的。谁可能?上帝。于是，康托证明了上帝的存在性。上帝存在，因为无限集存在而且不可被人类理解。康托由此陷入了精神崩溃。
1704545711
1704545712
现在，我们把目光转向20世纪初叶，一位叫做舍勒（Max Scheller）的伟大的现象学家。今天学者们非常尊重他，把他当做20世纪最重要的三位现象学家的第二位，即胡塞尔、舍勒、海德格尔。其余两位的名字，想必你们听说过了。
1704545713
1704545714
舍勒论证过这样一件事情，接着我们刚才描述的那个小人儿，舍勒的论证是：你如何知道你在认知呢?你必须建构第二个层级。在第二个层级上，你如何知道你如何在第一个层级上认知呢?于是你必须建构第三个层级。……这样一层一层地建构上去，直到无限，总有一个最高的层次。在那里，舍勒认为，只有上帝在那儿，包容着我们的全部认知层级。
1704545715
1704545716
这个上帝，舍勒以大写的“Person”来表达。我们知道，person是“人”或者“人格”，把它大写出来，刘小枫认为，应该翻译成“位格”，即上帝的位置，但是人的神性也在那里。
1704545717
1704545718
只有在位格上，才可能包容刚才说的无穷多的层级的历史，也就是康托的“一切集合的集合”。不过，从布劳威尔的直觉主义传统，我们知道，“There is no such thing as the set of all sets”，直译：没有“一切集合的集合”这类事情。为什么没有“一切集合的集合”呢?因为我们的有限理性不可能无矛盾地描述它，因为我们的心灵不可能直观到它。
1704545719
1704545720
毕达哥拉斯类型的数学家，相信数是永恒不变的世界秩序的表达，是上帝的语言。不过，今天，从脑科学的证据，我们相信，脑的演化结构以及人类的实践活动，建构了“数”本身。我这样说，目的是要推翻从毕达哥拉斯和柏拉图直到康德和康托的数学观念。
1704545721
1704545722
现在我再介绍一位哲学家，也是心理学家，还是教育学家，最后，他还是对中国思想界发生过重大而深远影响的一位学者，他就是杜威（John Dewey）。杜威有一位学生，叫胡适。五四运动发生的时候，杜威恰好在在上海，于是他就不走了，在中国逗留了两年，考察了许多地方。他也来过杭州，来过两次，分别是1919年和1921年。
1704545723
1704545724
杜威是非常重要的一位哲学家，美国实用主义哲学的第三代传人。在最近出版的他的一部著作的中译本里，他表达了与我们上面介绍的数学观念十分接近的看法。他认为：数，作为概念，根本就是人类实践的结果，而不是彼岸世界的、康德式的先天综合概念。
1704545725
1704545726
他所引述的另一位学者，是库萨的尼古拉（Nicholas of Cusa）。后者生存的时期，比杜威早了将近六百年。库萨是中世纪哲学家，他是这样来表述下面这一数学问题的，因为你们是数学系的学生，我就可以表述得更简单些。用两句话，第一句：“概念1和概念2的相互置换，不能够改变这个世界的体验。”意思是说，如果你把概念1和概念2置换，也就是在所有适用场合，用概念2取代概念1。这样，在你世界观的所有场合里，在原来是概念1的位置上，现在都替代以概念2。这是第一句话的前件，或者叫做“假如”。如果你这样做了，而且你对这个世界的体验，不发生任何改变。这就是第一句话的后件，或者叫做“结果”。现在是第二句话：那么这概念1与概念2之间的区分，就是不必要的。现在我们把尼古拉的两句话结合起来，成为：如果两个概念在一切场合的置换不改变我对世界的感受，那么就没有必要区分这两个概念。
1704545727
1704545728
尼古拉的看法如何应用于数学呢?假如地球上有两种人：第一种人，他的感觉是“粗线条”的，不妨叫做“粗感觉人”；第二种人，他的神经纤维比较敏锐，不妨叫做“细感觉人”。现在，粗感觉人和细感觉人坐在一块儿。细感觉人说：有必要区分数字1和数字2，因为数字1和数字2的置换对我们细感觉人来说，意味着不同的世界。也就是说，细感觉人的世界会因数字1和数字2之间的置换而有所变化，例如，他得到1只羊和得到2只羊，感觉不一样。细感觉人说：似乎羊肉的数量在急剧增多。但是粗感觉人回答说：不对，我们感觉不到1和2有这么大的差异。他会说：似乎羊肉的数量几乎没有变化呀。于是，按照库萨的尼古拉的看法，对于粗感觉人的世界而言，那里的数学根本就没有必要有“1≠2”这样的命题，因为没有对应的感受，没有对应的心灵直观。
1704545729
1704545730
在当代，最早提出了与尼古拉上述看法类似的看法的，就是皮尔士（Charles S. Pierce），实用主义哲学的第一代大师，逻辑学家，也是詹姆士（William James）的老师，后者算是杜威的老师。通常这样说：实用主义哲学，有三代传人，虽然他们的年龄不尽符合这一排列。
1704545731
1704545732
皮尔士最早提出了“清晰的概念”的定义。也就是，一个概念，如果让你感觉到有了它，世界将会有所改变，那么这概念就是有用的。什么叫“有用”?你知道了这个概念与你不知道这个概念的时候相比，你对这个世界的看法会有所改变。否则，这概念就没用，就应该用“奥卡姆剃刀”删掉。
1704545733
1704545734
皮尔士的私人学生，是詹姆士。虽然后者死得很早，但他是第二代传人。第三代传人，就是杜威了。这样，杜威通过胡适影响了中国思想的方向。当然，还因为实用主义哲学与中国文化传统有暗合之处。在五四运动的时代，中国思想界几乎是在追捧着美国实用主义哲学。
1704545735
1704545736
尼古拉的看法，我们从数学角度看，不就是“拓扑”的“粗”和“细”造成的吗?一个拓扑，如果它比另一拓扑更“粗”，那么它就不能区分数字1和数字2的区别。
1704545737
1704545738
刚才我提到的杜威著作的那个译本，2004年1月份才正式出版，标题是《确定性的寻求——知和行的关系研究》。让我原文引述杜威在这本书的看法：“我们已经十分习惯于把知识与动作分隔开来，以至于我们认识不到这一分隔的情形如何支配了我们对于心灵、意识、反省的探究的想法。”这是什么意思呢?柏拉图的看法：数在天上，我们的实践和我们的数学行为，与天上的数的性质是互不相关的。我们只是用眼睛或心灵去直观天上的数，发现数的秩序，如同发现行星和恒星运行的秩序一样。其实，这是一种“物我两分”的看法。杜威说：“关于认识的理论派别繁多，但是它们都有一个共同的假设”——凡不是实用主义的哲学，如唯心的、唯物的、经验的、逻辑实证的，都有一个共同的假设——“它们都主张，在探究自然的或者探究世界的操作中没有任何实践活动的因素进入被知对象的结构”。
1704545739
1704545740
也就是说，“物我两分”，我的心灵直观到数的秩序的时候，这种直观、这种数学行为，绝不会影响数的秩序本身。杜威认为，这是一种不正确的看法。这种看法把整个宇宙先定地分成了主体和个体，我和物。这样一种消极的看法，它永久性地把心灵和认知器官的主要特征固定下来了，也就是说，认知过程被假设永远处于被知事物之外，二者之间不发生任何交互作用。这一切见解的根源，杜威说，是为了寻求绝对的确定性。为了追求确定性，我们把理论与实践，把知识与行为，相互割裂开来。这就是杜威阐述的基本主题。人类有这样一种天性，要规避风险，要规避一切不确定性。于是，他们就到天上去找这种绝对的确定性。
1704545741
1704545742
杜威说到了爱因斯坦，在这个中译本的第141—145页。他说：牛顿假定，发生于同一观察区域内的事件，它的测量对于发生在另一区域内的事件，具有确定性的意义。爱因斯坦意识到这一“绝对时空”观假定是牛顿体系的致命伤。他要求以实验方法来测量“同时性”这个概念，也就是说，他要求把概念从柏拉图的天上拉到地上来，他要概念依赖于认知者的实验过程。“他质问：实验结果要求我们把概念做何种改变?因此就发生了一场不可逆转的真正的革命。”
1704545743
1704545744
我再念几段，希望你们能听下去。在这本书快结尾的时候，杜威说到数学：“我们借助于符号，或者是姿态，或者是文字”——注意，语言和文字，都是符号——“或者更精巧的构造”——我们借助于符号，好处就是可以想像动作——“可以不动作而动作”。这是概念的唯一的用途：“借助符号进行实验”，所以“专门符号的发明，标志着思维有了这样一种可能性，就是从常识的层次发展到科学的层次”，从现实的层次进入到可能的层次。这是杜威对数学符号的最重要的一种洞见，根据这一洞见，数学让我们把实践的过程变成符号运算的过程。
1704545745
1704545746
数学家可能认为，数学，它是人脑随意发明的产物，与实践无关。杜威认为这是一种错误的看法。其实，如果我们仔细考察，我们会发现，所有能够想像出来的数学实体，因为必须服从逻辑定律，如果你同意直觉主义立场的话，你可以不接受排中律，那么就考察服从同一律和无矛盾律的一切数学实体。考察的结果，所有的数学想像，都是关于逻辑可能的世界的想像。因逻辑无矛盾而成为“可能的”，这只是逻辑可能。这是杜威的看法，我没有想清楚，我未必同意。例如，有些数学概念，虽然在逻辑上是可能的，但是我们人类难以体验甚至无法体验它们，例如“无限”这个概念，那么按照上述的社会科学的看法，既然我们在这个世界里根本体验不到这些概念，它们就是多余的，可以用奥卡姆剃刀删去。可是我觉得有些不对头，因为有许多数学概念是不可体验的，但基于这些概念，我们可以推导出一些数学命题，这些命题是可以体验的，并且对这些数学命题的体验改变了我们对世界的看法。于是，那些原初的不可体验的数学概念，未必是多余的，因为它们可以推导出改变我们对世界的看法的命题。
1704545747
1704545748
接着讨论“无限”概念。我说，今天我们应该把灯关上，然后谈谈我们和幽灵之间的故事，倾听幽灵叹息。从“无限”概念的可体验性和不可体验性，我们就回到了让康托发疯的理由，那就是所谓“上帝存在的本体论证明”（ontological proof of God）。
1704545749
1704545750
显然，“信仰”是一个可体验的概念，它与“无限”不一样。不过，我可以信仰“无限”，大多数宗教信徒都信仰无限。信仰本身是可体验的，因为信和不信可以导致非常激烈的世界体验的差异。如果你是一个信仰者，如果他是一个不信者，那么你们两人对世界的体验，可以有重大差异，可以是激烈地不一样的。所以，信仰不是一个多余的概念。
1704545751
1704545752
我们现在谈谈哥德尔的精神问题。凡是数学家，都容易精神崩溃。为什么呢?因为数学家需要面对数学根本问题，需要努力去理解“无限”概念，并且在这里陷入悖论。所有的数学家，如果他是好的，也就是有灵魂的，我现在看到我周围漂浮着从北京来的幽灵，你们能看见吗?如果哥德尔在这儿，我相信他应该能够看见它们。如果你有灵性的话，你如果是有灵性的数学家，你或许可以走到康托和哥德尔的境地。
1704545753
1704545754
哥德尔在1970年给出了一个“上帝存在的本体论证明”。这一证明的基本思路，最早是由莱布尼兹给出来的，后者生活在几百年以前。证明的思路其实很简单，三项基本假设：（1）我心灵所直观的“上帝”，无所不在；（2）我所在的这个世界，只是偶然的，我是“偶在”（解释：我偶然投生到这个地球上，而没有投生在另一个地球上，没有在银河系的另一端，或是在人马座α星附近。我不可能知道，我今生今世投生在这个地球上，在中国，在这个教室里坐着，这叫做“偶在”）；（3）我有理性。
1704545755
[
上一页 ]
[ :1.704545706e+09 ]
[
下一页 ]