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1928年，希尔伯特终于意识到布劳威尔声望太高，对公理主义数学学派构成了严重威胁，并且这一威胁与日俱增。于是，他不顾爱因斯坦的反对——爱因斯坦是一位神秘主义物理学家——将布劳威尔从数学年鉴编委会撤职。这一举动遭到布劳威尔的激烈抵抗，因为希尔伯特的行动是违反程序正义的。但是在主流数学界，希尔伯特威望太高，最终他成功了。布劳威尔退出了数学年鉴编委会。一系列的政治斗争，终于摧垮了布劳威尔的心智。他心智耗竭，精神崩溃。
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这故事的另一视角，发生在1926年。那一年，布劳威尔已经濒临精神崩溃，独自居住在荷兰的一个乡村里，吃素，或许还做瑜伽，而且不说话。那一年，小门格尔（Karl Menger）离开了布劳威尔，返回维也纳大学教授数学。
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谁是小门格尔呢?我们知道，老门格尔（Carl Menger）是奥地利学派经济学的创始人，在经济学，在社会科学，名气太大了，所以这里就不介绍了。他的儿子，小门格尔，是数学家。拿到数学博士学位之后，他就投奔了布劳威尔。但是他在给友人的一封信里写过，他终于无法忍受布劳威尔的神秘主义的生活方式，并且布劳威尔有一次搜查了他的日记。这样，他就离开了那个怪异的老头儿，返回维也纳大学，任数学教授。1930年，小门格尔发表了一篇论文来反对他的老师的直觉主义立场。在这篇论文里，他提出了一种被称为“意向主义”的数学立场。记住，“意向”是今天出现频率相当高的一个词，它是现象学的一个概念。小门格尔的意向主义的数学立场是什么呢?数学公理的意义，小门格尔认为，不在于这些公理本身的内容，而在于它们所意向的内容。那种意向，如果它所意味的那些事情是有意义的，是可以改变我们所感受的世界图景的，那么我们就应当接受这些公理。
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小门格尔是维也纳小组最活跃的数学家和思想家。我们知道，中国的洪谦老先生，是从维也纳小组毕业回国的，他现在已经去逝了，他的老师是什里克（Moritz Schlick），数理逻辑学家，什里克的前任，就是小门格尔。这篇论文在维也纳小组宣读的时候，题目是“维特根斯坦、布劳威尔和维也纳小组”，试图代表维也纳小组的立场。但是他宣读了这篇论文之后，遭到了小组的大多数成员的激烈反对。只有一个成员，他一直沉默着。是谁?哥德尔。
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哥德尔沉默。为什么呢?1931年，在小门格尔宣读那篇论文的一年之后，哥德尔发表了他的“不完备性定理”。哥德尔保持沉默，从这一事实我们可以看出，在小门格尔的意向主义数学立场里，包含了皮尔士的逻辑立场，即实用主义哲学，把意向当做可体验的这样一种实用主义哲学的看法。
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直觉主义与意向主义有什么区别呢?布劳威尔的直觉主义，只承认有限建构的逻辑，把无限留给直觉。最关键的数学事实是什么?我们的脑，从许多有限的表达中，有能力顿悟到无限。这是与数学根本问题密切相关的事实。在这一点上，意向主义继承了直觉主义，它沿着公理所指的意向所作的推演和极限，取代了直觉主义者的顿悟。
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让我举一个简单的例子：某一函数F在闭区间[0，1]上的连续性，怎样表述呢?我们知道，必须以离散方式来表述。我们假设数学分析的“ε-δ”语言是有效的，然后用这一语言所采用的有限的量，来表述无限的连续性概念。具体而言，这一语言这样表述这件事：“对任意给定的实数ε（ε＆gt;0），存在实数δ（δ＆gt;0），使得当F（y）的自变量y在点x∈[0，1]的δ邻域内，就有F（y）在F（x）的ε邻域内。”
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这里，没有出现任何无限的集合，故而这一定义是符合数学直觉主义的。但是请注意这里出现的两个“任意给定的实数”。所谓“任意”，就是要借助于我们的数学想像，激活我们的直觉能力，让我们能够想像这两个趋于无穷小的实数的状况。你可以运用直觉，其纯粹形态就是顿悟。你也可以运用意向，沿着这两个实数的无穷小方向，体验它们的含义。前者是布劳威尔的方法，后者是小门格尔的方法。我觉得它们之间的区分不很严重。
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数学与社会科学
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如果你是数学系的学生，你毕业以后，进入社会科学领域，例如经济学领域，你建构了一个模型，你觉得它非常优美典雅，然后你就把它递交给社会科学家们。我们这些社会科学家怎么对待你这个模型呢?我们要亲自体验它在现实世界里所意味的各种不同含义。如果经过了许多体验之后，我们意识到你这模型完全不能导致任何差异，我们将告诉你，它是多余的。
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这一情况，就是数学在中国被滥用的一种最常见的情况。在中国，和在西方一样，滥用数学的最突出的标志就是，由此而建构的数学模型，对我们体验我们自己的世界，毫无差异可言，没有意义，多余。
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我们来看看对经济学而言最重要的一个数学建构，就是所谓“偏好”概念。我还是从数学开始讨论它吧：有一个“二元关系”，如果它是完全的，而且它使某一个集合成为半序集，那么我们说，它和这个集合构成一个“完全半序集”。在这一半序集上，以“≤”号来表示半序关系。如果A≤B且B≤A时，我们就说A和B是等价类。在这一半序集上的全体等价类，它们的集合，记做“I”，就是我们经济学家说的“无差异曲线族”。在“X—Y”平面的直角坐标系里，例如，二种商品，X和Y，一个完全半序集上的全体等价类就决定了消费者的一个“偏好”。
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无差异曲线族，两两之间是不应该相交的，而且这族曲线应该凸向原点。如果你相信这样一族无差异曲线，那么，你就可以找到具有这一偏好的消费者的行为的均衡点。也就是说，他们的消费行为在这一点上是稳定的。例如，今天你看见那个人喝了二两白干和一两葡萄酒，明天你还可以看见他喝二两白干和一两葡萄酒。只要这两种酒的价格不变，你就可以每天看见他按照这一比例来喝这两种酒。
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如果你相信无差异曲线族不是凸向原点而是从原点向外凸的，那么可以证明，你将体验不到具有这一偏好的消费者的稳定的均衡行为。价格稍微变动一些，那位酒客就开始只喝白干，或者只喝葡萄酒。于是，你看见他在两个极端之间跳跃。如果我们都相信这样的无差异曲线族，那么我们就都预期我们每一个人的行为是不稳定的，于是我们的行为就都会从正常的变成疯狂的。
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上面的例子说明，数学家建构的“偏好”概念，不是多余的。1930年，另外一个故事。我说过，接近结束的时候，我才可能揭示今天报告的主题。这主题，就是数学的神秘主义感觉。1930年，小门格尔为了说服维也纳小组的其他成员，把华沙学派的领袖塔尔斯基（Alfred Tarski）从波兰请到维也纳，给小组成员作报告。
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塔尔斯基是社会科学家最常使用的三个不动点定理中的第三个的发现者，那个定理就叫“塔尔斯基定理”。塔尔斯基报告的主题是“三值逻辑”。哪三个值?真，伪，不确定。记住，不确定。塔尔斯基的报告最终说服了一部分小组成员，并且他的报告几乎就是对布劳威尔的支持。
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我现在介绍一下塔尔斯基的重要地位。第二次世界大战刚结束的时候，在普林斯顿高等科学研究院，即爱因斯坦和冯·诺伊曼工作的那个研究院，召开过一次世界数学家大会，可能是第二届，我忘了，总之，是战后的第一届。世界数学家大会的主席，只邀请两个人做主题发言。其中第一个人就是塔尔斯基。当时，有资格作会议记录的人，只有蒯因——你们可以在数理逻辑著作里知道这个大人物——和哥德尔。只有他们两位被允许为会议作记录。
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小门格尔在1932年发表了一篇著名的论文，题目很有意思，“逻辑宽容论”，讨论逻辑与宽容。逻辑还需要宽容吗?是的。小门格尔试图说服数学家们容忍非传统的逻辑学，容忍不是双值逻辑的逻辑学，容忍不确定性的逻辑学。
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1934年，小门格尔发表伦理学专著，题目是《道德，角色，社会组织》，回应了当时流行的纳粹主义、社会主义、自由主义。在这部专著中，小门格尔用数学方法证明伦理选择的均衡的存在性条件。如果一个社会可以实现伦理选择的均衡，那么该社会就找到了自己的最终基础。不同的伦理判断之间，达成某种均衡，也就是相容性，伦理判断之间的相容性。记住，“相容性”。
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当时，小门格尔没有使用机械工程师们和后来经济学家们经常使用的“均衡”概念，他使用了更深刻的概念，“相容性”。或许因为相容性是“希尔伯特第一问题”里出现的术语，当然也出现在希尔伯特第二问题中，那是所谓“皮亚诺问题”——关于自然数的五个公理之间是否相容。
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不同社会成员的不同伦理判断之间，只要存在这样一种相容性，社会就是可能的。小门格尔在1934年的这本著作里，回答了西美尔问题，也就是社会科学根本问题，“社会为什么可能”。
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小门格尔这本著作激发了另一位重要的社会科学家，也是经济学家，摩根斯顿（Oskar Morgenstern）。他当时是维也纳小组的成员，他读了这本书，听了小门格尔关于这本著作的演说。然后，第二次世界大战以后，他来到美国的普林斯顿大学，与当时最重要的一位数学家冯·诺伊曼——氢弹之父和计算机之父，也是今天脑科学的先驱和谱系学的研究者——一起，在1944年发表了《博弈论与经济行为》，奠定了今天社会科学的理性基础。记住，《博弈论与经济行为》，摩根斯顿是两个合作者当中的社会科学家，冯·诺伊曼则代表合作者当中的数学家。
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于是，社会科学与数学，在我们讲述了一个小时之后，可以被置于如下这种描述内：社会科学研究现实的模式，数学研究逻辑可能的模式。所谓“可能”，是指由无矛盾律界定的全部世界，即满足A≠A。我们不愿意使用排中律。实际上，只要满足A≠A，数学家就可以建构一个无矛盾的世界。
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无矛盾世界里的每一元素，对于社会科学家而言，都是一种可能性，没有实现但是可能的。只要可能，就代表着未来，代表着希望。于是，社会科学的研究范围，是数学研究范围的一个子集。
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但是，这样一个看法对社会科学家不很公平。为什么呢?因为我们不能否认人类对矛盾是有所体验的，矛盾是可以体验的。所谓“bitter-sweet”——又苦又甜，所谓“又爱又恨”，所谓“悲喜交集”，都是关于矛盾的体验。
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