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图4.16 随机网络，节点总数=50，任两节点之间发生纽带的概率=0.08
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degree——刻画任一节点与网络的其他节点联结的强度，称为节点的“度”，即节点拥有的纽带数。给定网络的节点总数，以相等概率随机联结任两节点，由此生成的网络称为“随机网络”（如图4.16）。以横轴代表节点的度，以纵轴代表节点数，那么，随机网络的度数服从泊松分布（如图4.17）。所以，随机网络又称为“泊松网络”。所谓“幂律”，就是当横轴和纵轴都取对数时，节点度数呈现为斜率为负的直线。根据目前在波士顿大学任教的物理学家斯坦利（H.E.Stanley）等人发表于《美国科学院通讯》（PNAS）2000年10月10日的文章“Classes of Small-world Networks”（“小世界网络的类型”），真实世界里许多网络的节点度数或多或少呈现幂律分布。
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图4.17 根据图4.16的随机网络计算的节点度数分布十分接近泊松分布
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斯坦利指出，小世界网络可进一步划分为三类：（1）表现出严格幂律分布的——例如电网和机场这样的公共设施；（2）表现出弱幂律分布的——例如演员、朋友、其他社交关系；（3）几乎完全不服从幂律分布的——例如化学反应或其他需要持续支付成本的网络。图4.18取自这篇文章的图1和图2，显示上述第（1）类和第（2）类网络。所以，小世界网络的节点度数分布未必表现为幂律。另一方面，下面的例子表明，完全的随机网络，度数分布也不表现为幂律（一个节点的纽带数完全独立于其他节点纽带数，于是网络的节点度数更可能服从泊松分布）。汪小帆等人2003年发表于IEEE会刊的综述文章，详细介绍了这三类网络。
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图4.18 真实世界里的小世界网络有些服从有些不服从幂律分布
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图4.16和图4.17取自上引杰克森2008年著作的插图1.2.3，显然，如杰克森指出的那样，随机网络的节点度数分布完全不是幂律的。请回忆瓦特的研究报告，完全随机网络、洞穴人社会网络、小世界网络，是三种不同类型的网络。
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对于中国社会网络的研究者而言，边燕杰早已指出，西方社会网络的理论和测度指标通常需要改造，之后才适合于中国。他特别回顾了1940年代（梁漱溟和费孝通）至1990年代（包括边燕杰和他的导师林南）关于中国社会网络“关系”概念的思想史。他考察中国社会之后，列出社会资本的决定因素，图4.19值得关注。
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图4.19 社会资本的决定因素
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图4.19取自边燕杰的文章“城市居民社会资本的来源及作用：网络观点与调查发现”13图1。在边燕杰的社会资本分析框架里，出现了四项新的指标：（1）网络规模，例如被调查的人的个人社会网络包含人数的平均值。社会资本存量显然与网络规模成正比。（2）网络顶端，例如一个人在社会网络里的位置，越靠近顶端的，越能分享更多的权力或资源（社会资本）。（3）网络差异，例如，甲和乙在社会网络里距离顶端的距离不同，他们分享的社会资本就可有相应的差异。（4）网络构成，网络的经济属性或政治属性或情感属性。如前述，我们不再满足于只包含0和1的关系矩阵描述的社会网络，今天研究“关系”，我们有极大拓展了的数据来源和数据内容。
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图4.20 林南1999年文章提出的社会地位的社会资本模型
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林南的文章“社会网络与地位获得”14，1999年发表于《社会学年鉴》（图4.20取自这篇文章的图1）。他的总结是：（1）社会资本从接触和动员“嵌入性资源”（即嵌入于社会网络的资源）两方面增加了获得较好地位的机会；（2）一个人的社会资本依赖于他在社会科层中的初始地位和社会关系的广度。
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图4.21 黏着偏好导致的幂律，节点数=1013，节点半径正比于节点度数
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在真实世界里，最著名且最常见的诱致幂律发生的机制，称为“黏着偏好”（preferential attachment）。图4.21显示的是我运行仿真软件NetLogo提供的模型“黏着偏好”得到的结果。所谓“黏着偏好”，就是日常生活里常见的“越富就越富”或“越受欢迎就越受欢迎”这类现象，也称为“马太效应”或“赢者通吃”。如果一个人不带任何偏见进入一个社会网络，那么，他应当优先选择与谁建立联系？或者，对他最有利的偏好是怎样的？根据效率原则，显然，他应当优先与那些已经有较多纽带关系的节点建立纽带关系，于是就有了某种黏着性，如同滚雪球，越大的雪球越容易黏着更多的雪。图4.21显示了全部1013个节点的半径（连接度），显然，只有极少数节点处于网络的顶端，它们分享了幂律带来的财富和权力的最大部分。其余的节点绝大多数处于网络的底层，在幂律作用下，他们只能分享极少的社会资本。注意，图4.21的左侧有两个窗口，上面的是未取对数的节点度数分布，有肥尾，故不同于泊松分布。这一分布取双对数，就是下面的窗口显示的度数分布，在网络演化到大约1000个节点时，它已接近严格幂律。
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图4.22 汪小帆2003年文章提供的真实世界里的网络的测度指标
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对比图4.18与图4.22：团聚性最高的是电影演员的社会网络（0.79），部分地服从幂律。平均距离最短的是语言网络（2.67），而且它的团聚性并不低（0.437）。由此判断，语言网络是小世界。数学合作者网络，也像小世界。另一篇优秀的科普作品，我认为比汪小帆的那篇发表于IEEE的文章更详细地解释了“小世界”现象，是纽曼（M.E.J.Newman）2000年发表于《统计物理学》杂志的一篇综述文章，图4.23是这篇文章的截图。
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在图4.23下方的表格里，纽曼引用瓦特1998年《自然》杂志文章的数据，并在最右栏列出他计算的同样节点数目的完全随机网络的团聚系数。对比随机网络的团聚系数，很容易看到：电影演员的数据——汪小帆文章已引用过，神经元网络的数据（平均距离2.65，团聚系数0.28）——来自遗传结构特别简单的“秀丽隐杆线虫”，电网数据（平均距离18.7，团聚系数0.08）——来自美国西部（加州）电网，这些网络的团聚系数远高于完全随机网络的。
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