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[45]这个问题的数学答案见在线技术附录。总结一下，一切都取决于常说的效用函数的凹性（用公式r=θ+γ×g，前面在第十章讨论过，有时称为“修正黄金律”）。在无限凹性时，假设后代不需要第100个额外的iphone，不给他们留任何资本。在相反的另一个极端，与黄金律完全一致，可能需要留给他们相当于几十年国民收入的资本。无限凹性常常与罗尔斯主义的社会目标有关，可能更具吸引力。问题在于，如果不给未来留任何资本，根本不能肯定生产率会继续以相同步调增长。因此，问题很大程度上不可判定，对经济学家和对民众一样令人费解。
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[46]在最一般的意义上，“黄金律”是一个定义人们之间相互义务的道德规则。它常用于经济学和政治学中，指的是定义当前人口对后代义务的简单规则。不幸的是，没有简单规则可以决定性地解决这个有关存在的问题，因而必然被反复问及。
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[47]2012年签订的新条约保留了这些数字，还添加了保持“结构”赤字小于国内生产总值的0.5%的进一步目标（结构赤字修正了经济周期的效应），以及如果不遵守这些承诺的自动惩罚机制。注意，欧盟条约的所有赤字数字是指二级赤字（债务利息包括在支出中）。
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[48]3%的赤字将允许一个稳定的60%的债务/国内生产总值比率，如果名义国内生产总值增长为5%（例如，2%的通货膨胀和3%的实际增长），基于将公式α=s/g用于公共债务。不过这个论据不是非常令人信服（特别是没有支持这一名义增长率的真正理由）。见在线技术附录。
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[49]在美国，最高法院在19世纪末和20世纪初阻止了好几次征收联邦所得税的企图，然后阻止了20世纪30年代的最低工资法，而同时却在近两个世纪中发现奴隶制和此后的种族歧视与基本的宪法权利是完全一致的。更近一些，法国立宪法院明显准备好了一个什么样的最高所得税率和宪法一致的理论：在经过一段时期的只有自己知情的高层法律磋商后，法院在65%和67%之间踌躇，并且纠结于是否应该包括碳排放税。
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[50]这个问题类似于现收现付退休体系引出的问题。只有经济增长强劲并且财政基础以和债务利息相同的（或几乎相同）步调扩张，削减作为国民收入百分比的公共债务相对容易。当增长慢的时候情况不同：债务变成负担，很难动摇。如果我们计算1970~2010年的均值，会发现债务利息支付远大于平均的主要赤字，这在很多国家接近零，特别是在意大利，平均债务利息支出在这段时期达到7%的国内生产总值的极高水平。见在线技术附录和补充表S16.1，在线可得。
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[51]然而，如果问题宪法化，像累进资本税这样的解决方案会被判违宪，这不是不可能的。
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[52]斯特恩和诺德豪斯如何获得他们偏爱的折现率，见在线技术附录。有趣的是两个人使用我们前面描述过的相同的“修正黄金律”，不过当涉及选择社会效用函数的凹性时位置完全分化。（诺德豪斯比斯特恩做出了更加罗尔斯主义的选择，为了证明给后代的效用以很小的权重是合理的。）逻辑上更加令人满意的程序应该引入如下事实，即自然资本和其他资本形式在长期的可替代性远不是无限的（正如罗杰·盖内里和托马斯·斯特纳所做的）。也就是说，如果自然资本被破坏，未来消费更少的iphone也不足以弥补这些损害。
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[53]如前所述，当前政府债务的低利率无疑是暂时的并且无论如何稍微有些误导：有些国家必须支付非常高的利率，而且今天在1%以下利率借款的政府也不可能持续几十年享受这种低利率（1970~2010年间的分析表明，富裕国家公共债务的长期真实利率大约为3%；见在线技术附录）。不过，目前的低利率是支持公共投资的有力经济因素（至少只要这样的低利率持续）。
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[54]在过去几十年中，最富裕国家每年的公共投资（减去公共资产折旧）大约是国内生产总值的1%~1.5%。见在线技术附录和补充表S16.1，在线可得。
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[55]包括像碳排放税这样的工具，作为相关二氧化碳排放的函数，它增加能源消费的成本（不是预算变量的函数，这一般是石油税的逻辑）。然而，有充分理由相信，价格信号对排放的影响要比公共投资和改变建筑规范（例如，需要保温）小。
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[56]私人产权和市场（在特定条件下）可以使千百万个体所拥有的才能和信息进行协调和有效利用，这一经典思想可以在亚当·斯密、弗里德里希·哈耶克、肯尼斯·阿罗和克劳德·德布鲁的工作中发现。投票是另一加总信息（更普遍的想法、思考等等）有效方式的思想也非常久远：可以追溯到孔多塞。关于政治机构和选举系统的建构主义方法的最近研究，见在线技术附录。
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[57]例如，重要的是能够研究不同国家政治官员所处的财富和收入阶层（见前面的章节）。不过，统计概览可能足以满足目的；一般不需要详细的个人数据。关于在没有其他方式时建立信用：1789~1790年革命议会的最初行动之一是编制“津贴纲要”，列出名字和贵族政府支付给不同个人的金额（包括债务支付、前官员的退休金和完全的赠予）。这本1 600页的书包含23 000个名字，列出总额的明细（收入的不同来源被总计到每个个人单独的一行），涉及全部牧师、人们的年龄、支付的最后年限、支付的理由等等。它在1790年出版。关于这一有趣文献，见在线技术附录。
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[58]这主要基于这一事实，即工资一般都与其他中间投入加总到一行（即与从其他公司的购买在一起，这既是劳动也是资本的酬劳）。因此，公布的账目从来没有透露利润和工资之间的分割，也不会允许我们发现中间消耗（可增加管理人员和股东收入的一种方式）可能被滥用。对于隆明公司账目及马瑞康纳矿产的例子，见在线技术附录。
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[59]一个哲学家，如雅克· 朗西埃（Jacques Rancière），对民主的迫切态度在这里是不可缺少的。尤其见他的La haine de la démocratie (paris: la Fabrique,2005)。
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21世纪资本论 结论
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在本书中，我介绍了关于18世纪以来财富和收入分配动态变化的相关历史，并且，我也尝试从中得出一些经验和教训，以资21世纪之殷鉴。
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本书立论的资料来源比此前任何作者的收集范围都要广泛，但仍有缺陷和遗漏。我的所有结论本质上都略显牵强，应该受到质疑和争论。社会科学研究的目的不在于制造数学上的确定性，而在于让形形色色的观点得到开放而民主的讨论。
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资本主义的核心矛盾：r>g
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本研究的总结论是：如果放任自流，基于私人产权的市场经济包含强有力的趋用力量（尤其是知识和技术扩散的影响），但是它也包含强大的分化力量，这将潜在地威胁各民主社会以及作为其基础的社会正义价值。
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主要的不稳定因素与如下事实相关，即私人资本的收益率r可以在长期显著高于收入和产出增长率g。
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不等式r>g意味着过去的财富积累比产出和工资增长得要快。这个不等式表达了一个基本的逻辑矛盾。企业家不可避免地渐渐变为食利者，越来越强势地支配那些除了劳动能力以外一无所有的人。资本一旦形成，其收益率将高于产出的增长率。这样一来，过去积累的财富要远比未来的收入所得重要得多。
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财富分配长期动态变化的结果可能很可怕，特别是考虑到初始资本规模不同会直接导致资本收益率显著不同，以及全球范围内正在发生的财富分配的分化，这些因素都会不断加剧财富的不平等。
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