1704633582
为什么要讲间接效用函数？因为，有了间接效用函数，那么，控制消费者的消费行为实质上可以由控制价格p与控制收入y来实现。控制p，实质就是价格政策或价格改革；控制y，实质便是收入政策的内容。可见，间接效用函数的概念，有着明显的政策上的应用价值。
1704633583
1704633584
二、间接效用函数的性质
1704633585
1704633586
1704633587
【定理】 如果直接效用函数u（x）在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数
1704633588
1704633589
1704633590
1704633591
1704633592
一定是：
1704633593
1704633594
1704633595
（1）在上是连续的；
1704633596
1704633597
（2）关于（p，y）是零次齐次的；
1704633598
1704633599
（3）对于y严格递增；
1704633600
1704633601
（4）对于p严格递减；
1704633602
1704633603
1704633604
（5）满足罗尔恒等式（Roy’s identity）：即，如v（p，y）在点（p0，y0）是可导且则有
1704633605
1704633606
1704633607
1704633608
1704633609
证明：
1704633610
1704633611
1704633612
1704633613
（1）是从图2.2与图2.3可以看出的。表示价格的定义域，下标“＋＋”是指严格为正，没有一维价格为零，n表示有n维价格。R+表示收入的定义域，收入可以为零。表示预算集的定义域。性质1说明当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用也是会有微量的变化的。理由是，如果u（x）是连续的，那么其极大化（一阶导数）了的值一定也是连续的。
1704633614
1704633615
1704633616
1704633617
（2）需证明对于所有t>0，都有v（p，y）＝v（tp，ty），即v（tp，ty）＝t0v（p，y）＝v（p，y）。因为v（tp，ty）等于是所以，性质得证。
1704633618
1704633619
1704633620
1704633621
1704633622
1704633623
（3）由于这里中的x是极大化了的消费计划x*（p，y），即x*是参数p与y的函数。按envelope theorem（包络定理），对v（p，y）求关于y的偏导，只要对其极大化了的求关于y的导数即可。而的表达式是由
1704633624
1704633625
1704633626
1704633627
1704633628
推导的
1704633629
1704633630
1704633631