打字猴:1.70463361e+09
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1704633613 (1)是从图2.2与图2.3可以看出的。表示价格的定义域,下标“++”是指严格为正,没有一维价格为零,n表示有n维价格。R+表示收入的定义域,收入可以为零。表示预算集的定义域。性质1说明当收入与价格有微量的变化时,极大化了的效用也是会有微量的变化的。理由是,如果u(x)是连续的,那么其极大化(一阶导数)了的值一定也是连续的。
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1704633617 (2)需证明对于所有t>0,都有v(p,y)=v(tp,ty),即v(tp,ty)=t0v(p,y)=v(p,y)。因为v(tp,ty)等于是所以,性质得证。
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1704633623 (3)由于这里中的x是极大化了的消费计划x*(p,y),即x*是参数p与y的函数。按envelope theorem(包络定理),对v(p,y)求关于y的偏导,只要对其极大化了的求关于y的导数即可。而的表达式是由
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1704633628 推导的
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1704633633 并将x*与λ*代入L(·)而成的,所以
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1704633643 由于在里,(由u(·)严格递增保证),又由于所以pi严格为正,(i=1,2,…,n)。这样,
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1704633646 (4)多加一个假设:用与(3)相同的方法,可证
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1704633653 由于λ*>0,所以
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1704633655 (5)由(3)与(4),可得
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