1704633832
1704633833
1704633834
1704633835
1704633836
即
1704633837
1704633838
代（E.4）进（E.5），有
1704633839
1704633840
1704633841
1704633842
1704633843
1704633844
运用可以得出
1704633845
1704633846
1704633847
1704633848
1704633849
将（E.7）代入（E.5），有
1704633850
1704633851
1704633852
1704633853
1704633854
（E.7）与（E.8）只取决于p与u，所以，它们是关于x2与x1的希克斯需求函数。
1704633855
1704633856
我们将（E.7）与（E.8）代入支出函数问题的目标函数，就可得到
1704633857
1704633858
1704633859
1704633860
1704633861
1704633862
1704633863
公式（E.9）即为我们所求的支出函数，以此为出发点，对e（p1，p2，u）求关于p1的偏导，就可得到同样，我们可以得到从而证实了谢泼特引理。
1704633864
1704633865
1704633866
1704633867
例3：设需要满足的效用水平是效用函数形式为求支出函数。
1704633868
1704633869
解：这一问题的拉格朗日表达式为
1704633870
1704633871
1704633872
1704633873
1704633874
从（E.10）与（E.11），有
1704633875
1704633876
1704633877
1704633878
1704633879
即
1704633880
1704633881
