1704635170
1704635171
1704635172
这里，显然，是指一个给定的结果，u（E（g））是对一个确定的结果取效用函数，而u（g）是对n个不确定的结果所依次对应的效用函数值求加权和。
1704635173
1704635174
3．风险规避程度的数学刻画
1704635175
1704635176
由上面的讨论可知，一条效用函数的曲线如果越是凹，凹度越大，则表示消费者越是规避风险；反之，如凹度越小，则表示其不大规避风险。但曲线的凹度（curvature）是可以由函数的二阶导数来刻画的，让二阶导数除以（－u′），得到一个衡量度。这是由阿罗（Arrow, 1970年）与帕拉特（Pratt, 1964年）提出来的关于风险规避程度的数学度量：记为Ra（w）。
1704635177
1704635178
1704635179
1704635180
1704635181
如果消费者是喜欢风险的，u（·）为凸，则Ra（w）<0；如他是风险中立性的，u（·）为线性，则Ra（w）＝0；如他是风险规避者，u（·）为凹，则Ra（w）>0。
1704635182
1704635183
三、确定性等值、风险升水及其应用
1704635184
1704635185
1．确定性等值与风险升水的定义
1704635186
1704635187
1704635188
1704635189
1704635190
1704635191
请看图4.4，消费者面临两种不同的收入结果w1与w2，u（w1）＝R，u（w2）＝S，u（g）＝P1u（w1）＋P2u（w2）＝P1R＋P2S，如果则u（g）＝T，这是期望的效用水平。如果事先知道必有相当于的收入，该收入无风险，则对应的效用水平为u（E（g））＝C>T。
1704635192
1704635193
1704635194
1704635195
1704635196
图4.4 确定性等值（CE）与风险升水
1704635197
1704635198
确定性等值“CE”（certainty equivalent）是一个完全确定的收入量，在此收入水平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满足
1704635199
1704635200
1704635201
1704635202
1704635203
风险升水（risk premium）是指一个收入额度P，当一个完全确定的收入E（g）减去该额度P后所产生的效用水平仍等于不确定条件下期望的效用水平。即u（E（g）－P）≡u（g）。换言之，单赌g所含的风险相当于使一个完全确定的收入量E（g）减少了P的额度。
1704635204
1704635205
从图4.4中可以看出
1704635206
1704635207
1704635208
1704635209
1704635210
要注意的是，这里，相当于E（g）的收入被看作是一个完全确定的收入，风险升水是指当一个完全确定的收入E（g）转化为两个不确定的收入w1与w2时，消费者由于面临风险而付出的代价。P表示，w1或w2两个不确定的结果所代表的效用均值，实质上使一个确定的收入E（g）缩小为另一个确定的收入“CE”，这两个确定的收入之间的差距，便是风险的代价，故称风险升水。
1704635211
1704635212
例5：假定u（w）≡ln（w）。令单赌赋于赢h与亏h各50％的概率，设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险升水P。
1704635213
1704635214
解：原来的资产w0＝E（g），这是一个确定的收入水平，如不赌，不会丢掉；
1704635215
1704635216
如参加赌（参加竞争与冒险），有两种可能，一是赢，会有w0＋h；二是输，只会剩w0－h；所以，g≡（0.5×（w0＋h），0.5×（w0－h））
1704635217
1704635218
1704635219