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为什么？因为对（m1，w2）来说，m1更喜欢与w2结合（而在现存的匹配μ里，m1是与w1结合的），w2是更喜欢与m1结合（而在现存的匹配μ中，w2是与m2相结合的）。这样，m1与w2便会联合起来阻止μ，因此μ是不稳定的。
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下列匹配是一个稳定的匹配
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为什么？看（w1，m1），w1找到m1是最佳的，尽管m1还有一些不如意，但m1想要匹配的如意配偶w2是不会愿意的。再看（w2，m3），w2是最如意的，尽管m3最想与w1匹配，但w1把他排在偏好序的最后。所以（m2，w1）不会联合反对μ′。再看（w3，m2），他俩都很不幸，但w3如找m1，m1不会同意（因m1目前的配偶是w1，且w1排在w3前面）；如w3找m3，m3也不会赞同。同理，如m2找w1，w1不会愿意与m2匹配。结论是，没有一对人会联合起来反对现存的婚姻关系。因此，现存的匹配是稳定的。
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有了“稳定性”这一概念之后，我们便可以定义“协同博弈”理论里一个非常重要的概念：“核”（core）。
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通俗地讲，协同博弈中的“核”便是上述婚姻例子中的稳定匹配的集。严格的“核”定义要借助于匹配中的“占优”。
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5．匹配中的占优
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【定义】 匹配中的占优：在婚姻关系中，当且仅当，在并集M∪W中存在着一个联盟（coalition）A，并且，对于联盟A中的所有男士m与女士w，都有
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μ′（m）∈A
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μ′（w）∈A
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μ′（m）>mμ（m）
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μ′（w）>wμ（w）
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则称匹配μ′占优于匹配μ。
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这就是说，由于A中的人都认为按μ′匹配比按μ匹配好，博弈的规则便会允许联盟A会按μ′而不是按μ来进行匹配。
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6．“博弈的核”（the core of a game）
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【定义】 博弈的核：匹配中所有非占优于别的结果的结果的集合，称为博弈的核。这即是说，核中没有任何联盟。
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三、匹配与寻找工作
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“尝试—派遣—与最新修正”（tentative-assignment-and-update）是美国医学院协会为配置毕业生而采取的匹配程序。办法是：让各家招人的医院排列出自己对应聘学生的学业标准偏好序，又要求所有应聘学生列出自己对医院的偏好序。然后按用人单位提供的空位的额度进行配置。
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第一步，称之为1∶1阶段：如果医院i，记为Hi，有qi个空缺岗位，那么，从把Hi列入第一志愿的学生中按学业从高到低录用学生。如果这一匹配过程没有出现，则到
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第二步，称之为2∶1阶段：即从将Hi列为第二志愿的学生中按学业从高到低录用学生。
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……
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如果相应的匹配不出现，一直可以进行到第K步，叫K∶1阶段。在这一阶段，受选的学生是在第K次选择中将Hi列为首选。
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什么叫“最新修正”（update）？这是指，如当前是第K次选择，只考虑将医院列为K档志愿的学生，如果考生在该档竞争中未被录用，则下一档只考虑将招人医院列为K＋1档志愿的学生，……依次类推。这会改变匹配结果。请看下例：
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例3：考虑有两家医院H1与H2，三个医学院毕业生S1，S2，S3，其各自偏好如下