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下面，我们来证明上述定理。
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证明：
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对于每一种物品，k，当所有的价格向量p≫0时，设并且设这样，我们确认最高为1。并且，注意到，对于所有的p≫0，有
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这里，不等式来自于我们对于Z的定义，后面那个等式来自于瓦尔拉斯定律。
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现在，固定住ε∈（0，1），令
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Sε是我们为寻找一般均衡而构造出来的。我们试图在Sε里找出满足Z（p*）＝0的p*。图16.3是对Sε在只有两类物品时的一种图示。请注意，所有在负象限内或接近于负象限的价格都被排除在Sε之外，并且，当ε→0时，Sε会包含越来越多的价格点。因此，让我们允许ε→0时，我们寻找均衡价格p*（p1*，p2*）的视野会越来越开阔。
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图16.3 在上的Sε集合
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集合Sε具有紧（compact），凸（convex）与非空（nonempty）三个性质。“紧”来自于下列两个原因：第一，Sε是闭的，当ε→0时，极限点仍在Sε内；第二，Sε是有界的，因凸性亦可以得证，设p1与p2为Sε内两个价格向量，则看λp1＋（1－λ）p2（λ∈（0，1）），第一，第二，所以，凸性也是满足的。非空性也可以证实，我们找出一个价格向量，令每一维价格都为则并且因ε<1。这说明Sε是非空的。
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以上的工作是确定p的定义域，该定义域的集Sε是紧、凸以及非空的。然后在该定义域的集合Sε上定义一个函数fk（p），让fk（p）满足某些性质，就可以找出不动点。我们设
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并且令f（p）＝（f1（p），f2（p），…，fn（p））。于是，有且因为对每个m，从而因ε<1。这样，函数f（p）的值域也是Sε。然而，由上面的讨论知，f（p）的定义域即p的取值范围也是Sε。即f: Sε→Sε。
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