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但是，这一次有了不同。混合学习组的参与者正确辨识画家的比例几乎达到65%，而集中学习组只达到50%。在科学界，这两者间的差距已经相当可观了。为此，这两位研究学者另外招募了一群在校大学生，再次主导了一轮相同的实验，以再次确认结果。形式仍然一样，集中学习组和混合学习组的每位学生都得到了同样的学习机会：集中组一次看同一画家的6幅作品，混合组一次看6个不同画家的各1幅作品。结果仍然一样，混合组的辨识正确率达65%，集中组则为50%。
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学习的科学
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“引导学生辨识画家风格的常规教学法是一次集中观赏同一位画家的多幅作品，”科内尔和比约克写道，“我们发现，交替穿插不同画家的作品与集中揣摩同一画家的作品相比，效果反而更好，尽管这一结果与我们的艺术史教师甚至实验参与者的直观感觉完全相反。”
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“交替学习”（interleaving），这成了一个认知科学中的术语，意思是把既相关又不相同的题材混合到一起来学习。音乐老师就最擅长这种教学法，让一堂课的学习内容从调性练习转换到理论学习、再转换到作品练习。体育教练和运动辅导员也一样，让耐力训练和力量训练交叉进行，以保证运动员的局部肌肉有足够长的恢复时间。这些道理本已深深根植于传统观念与个人体验之中，根植于不欲“过犹不及”的理念之中。
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科内尔和比约克的画作实验把交替学习加入到了学习的基本原则这一总图之中，成为强化几乎一切不同题材学习效果的一项总则。我若是把这次研究称之为里程碑，似乎有些为时过早，毕竟这需要由一名比我有名望得多的历史学家来说才好，但是，它的确引发了后来一系列针对交替学习的研究，横跨各行各业，弹钢琴、观鸟、打棒球、学几何，等等，这些研究者们既包括专家学者，也包括业余爱好者。
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到底是什么导致了如此大的效果差异？为什么会有这样的差异？是不是正因练习时不同题材混合到了一起，反而能使人更清楚地辨别其差异呢？
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在科内尔和比约克的画作实验中，他俩决定问问参与者的看法。实验终结之时，他们给了参与者一份问卷，让他们来评价哪种学习方法对自己更有帮助，是集中式学习，还是交叉式学习？结果，将近80%的学生认为，集中式学习与交叉式学习效果一样好，甚至前者更好。他们似乎完全不觉得交叉式学习对自己更有帮助，哪怕这时已经是终结测试之后，哪怕他们已经看到正是交叉式学习让他们的成绩遥遥领先。
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“这才是最让人瞠目结舌的地方，”肯特州立大学（Kent State University）心理学家约翰·邓洛斯基（John Dunlosky）说，“哪怕你拿出他们的确已经表现得更出色的事实来，人们也一样不肯相信。”他曾经以观鸟学习验证了交替学习的确能提高人们辨别不同鸟类的能力。
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这么学就对了
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学习时把不同的物件、技巧、概念等穿插到一起来练习，经过一段时间的积累之后，不但能使我们更清楚地了解每一项之间的不同之处，还能使我们更彻底地掌握好每一项内容。但最为困难的地方却在于我们不肯放弃对简单重复的固有信奉。
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来自数学成绩的强效印证
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尽管美国在技术创新与发现方面处于领先地位，但数学教育的水平却长期滞后。在世界排名中，以八年级的数学考试成绩为衡量标准，美国一般只处于第9或者第10位，远远落后于韩国或者芬兰等国家。美国的教育专家以及教育官员一直都在辩论应该如何迎头赶上，而在20世纪80年代末的一次全国性的数学教育会议上，争议变得尤其激烈。
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那次会议是由美国数学教师的主要组织——全美数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics）所召集的优秀教师会议，旨在回顾并重塑该领域的教学方针。这是一项极其艰巨的任务，耗尽了无数人的心血。争议的焦点在于，课堂教学该怎么做才能达到更好的效果，是应该更注重具体问题的解决方式，如因式分解和斜率计算，还是应该更注重抽象思维的能力培养，包括培养数字概念和数理逻辑，比如，不需要找出最小公分母就能知道2/3＋3/5肯定大于1。前者注重自下而上，后者则注重自上而下。
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这本来只是教育上的分歧，但是辩论很快演变成了政治论战。认同自上而下的阵营被划为“革新派”，他们希望孩子能独立思考，而不是死记硬背各种习题的解题过程。这群人里包括了许多有教育博士头衔的年轻教师和大学教授。而认同自下而上的阵营则被划为“保守派”，他们看到的是传统教育方式的价值，主张以反复练习来打好基础。这一阵营的核心人物大多是老教师以及数学和工程方面的老教授。
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数学论战的结果众所周知，就是导致了更多教师的彷徨迷惑。因为数学教育在当时几乎没有像样的研究，所以最终没有哪一方能有足够的弹药赢得胜利。那时，由学术界和非学术界专家参与的所谓研究与实验往往变形为课堂上或学校里推行的某些针对数学、历史、写作等课程的新式教学法，随即便宣布“改进”了教学效果。可实际上对效果的衡量手段，即考试，往往连教师自己都很陌生，更何况几乎没有哪项实验中包含对教师在落实“新法”时投入了多少精力进行跟踪的具体措施。
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无论是那时还是现在，教师们早就见识了太多各种新法从推行到销声匿迹的实例，因此很多人已经对此抱有怀疑态度，更何况当年的数学论战曾经上升到了哲学高度，如今亦然。好在数学领域里最终能有发言权的不是理论，而是结果。“令新入行的教师备感困惑的事情之一是，弄不明白在每一两个星期一次的单元考试中表现不错的学生，为何往往会在综合大考的相同题型上栽跟头，”道格·罗勒（Doug Rohrer）对我说，“这些孩子往往归咎于考题太刁钻，甚至明目张胆地怪罪我故意刁难人。”
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罗勒在20世纪80年代末时曾是加利福尼亚州帕洛阿尔托市一所高中的数学老师。他解释说，让那些题目显得刁钻的原因在于，“学生解题时需要首先选择一个解题方案，也就是说，不仅知道某种方案的计算方式，而且知道在什么情况下该用什么方案。可在考试时，学生一下子面对多种不同题型，该怎么选择合适的方案就比单元考试的时候难多了”。面对这种具体的教学困扰，数学论战就显得太不切题了。
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罗勒曾经打算自己编纂一套不同的教科书，不走常规的单元式学习路子，比如用两个星期来学习比例，再用两个星期来学习图表，而是把一些学过的概念混杂到每天的作业中，迫使学生不能只管闭着眼睛用同一个解题方案，而必须学会恰当地选择相应的解题方案。解题时，你首先要辨明这是一道什么类型的题目。一天，罗勒躺在单身公寓的蒲团上对着天花板发呆，脑子里忽然想到这么个主意：好吧，也许我应该写一本混合解题的教材。不过他很快就发现，这样的教材已经有人写出来了。
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学习的奥秘
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约翰·萨克森（John H.Saxon）曾是一名空军军官，退役后到俄克拉何马市当了一名数学老师。20世纪70年代，他在罗斯州立学院（Rose State College）任数学老师，对当时学院使用的数学课本感到越来越难以忍受。那些书的编纂方式使得学生在基础知识上概念模糊，而且转眼就能忘掉刚学过的东西。有一天，萨克森终于决定自己来编写一些练习题，以不同于标准课程的方法帮助学生一点一滴地建立起代数的基础概念。他的学生进步迅速，而他不久便把一整套教程都编纂了出来。
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到了20世纪80及90年代期间，萨克森独立编纂以及与人合编的数学课本已经多达12部，涵盖了从小学学前班一直到高中的课程，甚至还有两本大学教程。他编纂教材时的改良核心就是不断地进行“交叉式复习”。他设计的每篇作业题都包含了一点新知识，比如解方程组，同时也涵盖了一些以前学过的内容，比如解x方程。萨克森认为，如果一个新的解题方式能混合在其他学过的、熟悉的解法中让学生一起练习，并在此过程中让他们慢慢建立起对抽象概念的了解，那么学生对这种新的解题方式的掌握便会更牢固。
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他的教材吸引了不少追随者，主要是私立学校以及在家自学的学生，也包括一些公立学校。他也很快成为数学论战中的一枚避雷针，吸引了无数火力，因为萨克森是一个信奉自下而上的人，他认为那些革新派都是些危险人物，而别人也同样回敬了他。
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罗勒对数学论战没有太明确的主张，对萨克森也一样不置可否。他记得自己的确曾拿起他的教材看了部分章节。没错，内容的确与众不同。以罗勒的眼光来看，那些课程少了一种逻辑秩序。不过，练习题里不同单元所讲授的不同题型全都混杂在一起，倒也恰好符合他想用来帮助自己学生的思路。
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但他还是把这些都放下了，罗勒已经打算离开数学教育界，去研究生院进修实验心理学了。到了2002年，也就是他完成学业拿到学位之后的第8年，他又开始考虑关于教学的事。一方面，他这时已经读到了1992年施密特与比约克关于运动学习与语言学习的研究报告，另一方面，他又想到了当年做高中老师时面对的核心问题。他的学生们不需要记住更多的东西，他们的弱点在于不善于鉴别不同类型的问题，也不善于选择恰当的解题方案。那时他还没有听说过“交替学习”这一专业术语，但是把不同题型混合到一起听上去像是能解决这一弱点的正确方向。
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这本书写到这里，我们一直很成功地躲避着跟数学真正有关的话题，不过现在，我想到了该破封的时候了。在过去的10年间，罗勒及其他研究学者以多种不同的实验表明，交替学习能提高我们对任何不同类型的数学概念的理解能力，无论学生的年龄大小。那我们就来仔细看看罗勒做过的一次实验，以了解交替学习究竟是怎么起作用的。你不用担心难度，这是一道小学四年级的几何题。
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