1704726519
无论是那时还是现在，教师们早就见识了太多各种新法从推行到销声匿迹的实例，因此很多人已经对此抱有怀疑态度，更何况当年的数学论战曾经上升到了哲学高度，如今亦然。好在数学领域里最终能有发言权的不是理论，而是结果。“令新入行的教师备感困惑的事情之一是，弄不明白在每一两个星期一次的单元考试中表现不错的学生，为何往往会在综合大考的相同题型上栽跟头，”道格·罗勒（Doug Rohrer）对我说，“这些孩子往往归咎于考题太刁钻，甚至明目张胆地怪罪我故意刁难人。”
1704726520
1704726521
罗勒在20世纪80年代末时曾是加利福尼亚州帕洛阿尔托市一所高中的数学老师。他解释说，让那些题目显得刁钻的原因在于，“学生解题时需要首先选择一个解题方案，也就是说，不仅知道某种方案的计算方式，而且知道在什么情况下该用什么方案。可在考试时，学生一下子面对多种不同题型，该怎么选择合适的方案就比单元考试的时候难多了”。面对这种具体的教学困扰，数学论战就显得太不切题了。
1704726522
1704726523
罗勒曾经打算自己编纂一套不同的教科书，不走常规的单元式学习路子，比如用两个星期来学习比例，再用两个星期来学习图表，而是把一些学过的概念混杂到每天的作业中，迫使学生不能只管闭着眼睛用同一个解题方案，而必须学会恰当地选择相应的解题方案。解题时，你首先要辨明这是一道什么类型的题目。一天，罗勒躺在单身公寓的蒲团上对着天花板发呆，脑子里忽然想到这么个主意：好吧，也许我应该写一本混合解题的教材。不过他很快就发现，这样的教材已经有人写出来了。
1704726524
1704726525
学习的奥秘
1704726526
1704726527
约翰·萨克森（John H.Saxon）曾是一名空军军官，退役后到俄克拉何马市当了一名数学老师。20世纪70年代，他在罗斯州立学院（Rose State College）任数学老师，对当时学院使用的数学课本感到越来越难以忍受。那些书的编纂方式使得学生在基础知识上概念模糊，而且转眼就能忘掉刚学过的东西。有一天，萨克森终于决定自己来编写一些练习题，以不同于标准课程的方法帮助学生一点一滴地建立起代数的基础概念。他的学生进步迅速，而他不久便把一整套教程都编纂了出来。
1704726528
1704726529
到了20世纪80及90年代期间，萨克森独立编纂以及与人合编的数学课本已经多达12部，涵盖了从小学学前班一直到高中的课程，甚至还有两本大学教程。他编纂教材时的改良核心就是不断地进行“交叉式复习”。他设计的每篇作业题都包含了一点新知识，比如解方程组，同时也涵盖了一些以前学过的内容，比如解x方程。萨克森认为，如果一个新的解题方式能混合在其他学过的、熟悉的解法中让学生一起练习，并在此过程中让他们慢慢建立起对抽象概念的了解，那么学生对这种新的解题方式的掌握便会更牢固。
1704726530
1704726531
他的教材吸引了不少追随者，主要是私立学校以及在家自学的学生，也包括一些公立学校。他也很快成为数学论战中的一枚避雷针，吸引了无数火力，因为萨克森是一个信奉自下而上的人，他认为那些革新派都是些危险人物，而别人也同样回敬了他。
1704726532
1704726533
罗勒对数学论战没有太明确的主张，对萨克森也一样不置可否。他记得自己的确曾拿起他的教材看了部分章节。没错，内容的确与众不同。以罗勒的眼光来看，那些课程少了一种逻辑秩序。不过，练习题里不同单元所讲授的不同题型全都混杂在一起，倒也恰好符合他想用来帮助自己学生的思路。
1704726534
1704726535
但他还是把这些都放下了，罗勒已经打算离开数学教育界，去研究生院进修实验心理学了。到了2002年，也就是他完成学业拿到学位之后的第8年，他又开始考虑关于教学的事。一方面，他这时已经读到了1992年施密特与比约克关于运动学习与语言学习的研究报告，另一方面，他又想到了当年做高中老师时面对的核心问题。他的学生们不需要记住更多的东西，他们的弱点在于不善于鉴别不同类型的问题，也不善于选择恰当的解题方案。那时他还没有听说过“交替学习”这一专业术语，但是把不同题型混合到一起听上去像是能解决这一弱点的正确方向。
1704726536
1704726537
这本书写到这里，我们一直很成功地躲避着跟数学真正有关的话题，不过现在，我想到了该破封的时候了。在过去的10年间，罗勒及其他研究学者以多种不同的实验表明，交替学习能提高我们对任何不同类型的数学概念的理解能力，无论学生的年龄大小。那我们就来仔细看看罗勒做过的一次实验，以了解交替学习究竟是怎么起作用的。你不用担心难度，这是一道小学四年级的几何题。
1704726538
1704726539
学习的奥秘
1704726540
1704726541
我们来稍微回顾一下当时的背景吧，这肯定不会有任何坏处。罗勒和凯利·泰勒（Kelli Taylor）两位学者当时都就职于南佛罗里达大学，在2007年的一次实验中，他们召集了24名四年级的小学生，首先对每名学生都做了一次辅导，教他们怎么根据棱柱体上下底面的边数来计算棱柱体有多少个面、多少个棱、多少个顶点和转角。这个培训非常简单明了，哪怕是患有“数学过敏症”的人都能一目了然。请看图8—2，b表示的是棱柱底面的边数。
1704726542
1704726543
1704726544
1704726545
1704726546
图8—2 棱柱计算题
1704726547
1704726548
辅导的时候，一半的孩子用的是集中学习法，他们先练习了8个“面”的习题，然后是8个“棱”的习题，然后是8个“顶点”的习题，然后是8个“转角”的习题。每种题目都是一口气连续练习8次，中间有30秒钟的休息，时间都安排在同一天。另一半的孩子每种题目也都练习了相同的次数，但是每次一口气连续练习的8个习题不但交叉混合，而且随机无序，比如，先是“面顶棱角棱顶面角”，接下来是“顶角角棱面棱顶面”。这两组孩子接受辅导的时间量一模一样，练习时用的题目也一模一样，唯一的不同是学习时的次序：一组孩子是集中重复，一组孩子是随机混合。
1704726549
1704726550
第二天，所有孩子都接受了一次考试测验，考试内容是这四种题目各一道。结果毋庸置疑，交替学习那一组的孩子成绩更好，而且比另一组高出老大一截：77%与38%的差距。
1704726551
1704726552
交替学习之所以在提高数学理解能力上格外见效，有一个相当明显的原因，那就是考试本就是混杂在一起的各种题型。既然考试是“拼盘杂拌”型的，那么平常的作业练习若也能是这种形式的话，自然有助于考试时的发挥。不过，这背后还有更深层的道理。在学习的过程中，不同题型掺杂到一起自然会迫使我们去辨识每一道题各属于哪一种类型，并需要逐一选择合适的解题方案去解答。我们不但要学会分辨不同的锁头，还要学会用不同的钥匙去开不同的锁。
1704726553
1704726554
学习的科学
1704726555
1704726556
“要解答数学题，任何时候都需要首先把题型与解题方案或者概念相匹配，可这恰是难点所在，”罗勒和泰勒在总结中写道，“比如说，臭名昭著的应用题，之所以人人都觉得很难，原因之一就在于应用题很少会指明该用什么步骤、什么概念。”
1704726557
1704726558
“举例说：‘如果一只虫子朝东爬了20厘米，接着又朝北爬了38厘米，那么请问，这时距离它的出发点有多远？’这道应用题，需要学生自己推导出运用勾股定理来解答。可如果是在学生刚用勾股定理做了一连串练习之后，你立即拿出这道题来让他们解答，那便明明白白地告诉他们是要用勾股定理来解题，那学生也就根本不需要任何自己的推导了。换句话说，一连串的集中式练习会在很大程度上削弱应用题的教学指导价值。”
1704726559
1704726560
罗勒这么解释说：“如果作业纸上端标明是‘二次方程式’，那么你做作业时想都不想就会通篇使用该公式的解法，根本不会考虑那种解法是否合适。动笔之前，你就已经知道了这一点。”
1704726561
1704726562
目前的证据表明，交替学习看来不仅适用于数学，也适用于几乎任何课题或是技巧的学习。比如说历史，可将相关阶段中的不同概念揉合到一起来学，再比如篮球，可在罚球线的前后左右练习投篮，而不是一直站在罚球线上定点投篮，还有羽毛球、生物、钢琴、化学、滑板……对了，还有那个遮住眼睛的沙包投掷！任何为时一整个学期的课程、其间的任何一堂课，都是运用交替学习方法的好机会。反正你需要在学习过程中时不时地回头复习一下，反正你需要学会在考试时区分出数不清的术语、名称、事件、概念、公式等，反正你要在独奏会上完成无数完美的运弓动作，既然如此，何不在平时每次坐下来练习的时候都一点一滴地练练这些你必备的不同本领，而不是等到期末考试时才来做一次总复习呢？
1704726563
1704726564
前面我们已经提到过，许多音乐家已经知道在练习时把时间分作好几段，已经做到了某种程度的交替训练，比如说，用30分钟来练习爬音阶、30分钟来琢磨新的乐谱、30分钟来练习熟悉的作品。这么做已经非常好了，不过，如果能把时间分得再细一些，比如15分钟一换或10分钟一换，那效果还能更好。请记住，交替学习不仅能用来复习各种题型、动作、概念，更能帮助你分辨它们之间的细微差别。
1704726565
1704726566
比如说我自己吧。至今我还会在有空的时候去学学西班牙语以及西班牙式吉他，每次需要学一串新单词时，我都会把新词混杂到至少相同数量的学过的单词中一起学习。学吉他的时候我就弄得更复杂了，也许是因为学吉他比记单词、读课文的花样更多。比如，先来一段爬音阶，弹奏个两三遍，接着再弹一首我已经会了的曲子，然后我会复习一下刚学会不久的、仍然老是出错的吉他新曲，例如格拉纳多斯的西班牙舞曲第五号，也是两遍，慢慢地弹。在这之后，我又回到了音阶练习，不过会换一个调式，之后再练习几小节我正在学习的全新内容。好，这堂课已经差不多了，我稍稍休息一下，弹上几小节我刚开始学吉他时就会了的曲子——《通往天堂的阶梯》，之后我就该沉浸到西班牙古典吉他的音乐声中去了。
1704726567
1704726568
这么学就对了