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1900年，那个时代最伟大的数学家希尔伯特提出了未来需要解决的23个重大问题。多数问题都解决了，但黎曼猜想还没有。2000年，麻省剑桥的克莱（Clay）数学研究所提出了7个久远的难题，每个问题悬赏100万美圆。13其中一个就是黎曼猜想。另外几个问题是：庞加勒（H.Poincaré）猜想，关于三维球面的几何特征；理论计算机科学的P/NP问题，要求证明困难计算确实存在；代数几何中的霍吉（Hodge）猜想和伯奇/斯温纳顿-代尔（Birch/Swinnerton-Dyer）猜想；粘性流体动力学的纳维尔-斯托克斯（Navior-Stokes）方程的解是否存在；证明量子场论中的“质量间隙假设”。我想，我们到2050年会对那7个问题有更多的认识，发现不同的结果。大概，庞加勒猜想那时还会悬着，P/NP问题将证明在形式上是不可确定的，霍吉猜想将被否定，伯奇/斯温纳顿-代尔猜想将被证明，纳维尔-斯托克斯方程在一定的奇异条件下没有解，质量间隙可能通过这样那样的方法解决，不过物理学家不会再对它感兴趣了。
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700万美圆的奖金不会把数学家引上新的路线。无论如何那是不可能的，因为数学家不像分子生物学家那么特别受金钱的诱惑。不过，它还是会达到一个目的，向圈外的人说明那7个问题有多重要——从而更一般地说明数学有多重要。我很愿意猜测这个信号会传到政府的基金管理部门，他们最终会认识到，把几十亿美圆花在数学上，比花在新粒子加速器的零碎上或者别的什么庞大的生物学的“集邮”活动，更能实质性地改变人类的生存状态，能产生更积极的影响。我想说，但我不会说。14
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P/NP问题是关于计算机的，却不是计算机所能解决的。它需要的是一个旧时的好思想。因为这个特殊的问题，计算机什么忙（即使是探索性的）也帮不了；不过它们能发挥别的作用，告诉数学家可能有什么猜想，然后数学家去寻求证明。我们现在越来越离不开这样的作用了。更重要的是，计算机将在许多证明里起着关键的作用，这已经成为时下的趋势。在适当的程序下面，今天的计算机远不是60年代闹哄哄的数字机器所能比拟的。它们已经可以在严密的逻辑下充当我们证明问题的“助手”了。最有名的例子是阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）1976年对四色定理的证明。那个定理最早是古斯里（Francis Guthrie）在1852年提出的，说的是平面上任何一幅地图只需要四种颜色就能区别出任意相邻的两个国家。证明的基本思想是把定理归结为一个程式化的识别过程，确认大约两千种特殊的地图（那是没有使用计算机发现的）具有一种特殊的数学性质。计算机进行了必要的计算，证明果然是那样的。
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有些哲学家认为，计算机辅助证明在本质上完全不同于传统的证明，因为那样的计算不能由空手的人来检验。然而我们要问，为什么把人对证明的检验放在第一位呢？在这里，关键问题在于检验，而不在于什么样的检验主体。过去是人在检验，因为那时没有别的选择，但未来不一定还是人。首要的准则是检验的主体必须是可信的，谁如果不相信它，可以借助其他独立的主体来做出自己的检验。只要这样的条件满足了，机器的判断与人的判断就是同样有效的。多数数学家希望计算机在投入运行的时候，能比人少犯计算或逻辑的错误。实际上，四色定理的历史中杂乱堆砌着人的错误。重要的还在于计算机程序的逻辑，在于机器是否真的朝着设计者的方向运行。这两件事情是可以独立检验的。“思想”部分现在还一直有人做——改变问题的形式，把它约化为大量的程式化的计算。然后，用计算机来算，抑或拿数学手册来帮助计算，在哲学上并没有什么不同。
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在数学证明中让计算机充当探索的助手——就像生物学家的扫描隧道显微镜和基因排序机器一样——这种趋势将生根在2050年的数学中。那时会出现“虚拟的非现实”（VU）系统，数学家可以去“访问”抽象的概念结构，如非欧几何和大素数的范围，还可以任意操纵它们，几乎不费一点儿力气——跟我们今天拿计算器做算术一样。VU的原料已经备齐了，很快就能装配起来。软件工程师的需要将激发组合数学（“有限的数学”）的新发展。组合数学与几何学在今天难得发生相互作用，那时却能通过电路设计和逻辑函数的关系而结成亲密的伙伴。
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在牛顿时代，数学问题的主要外部来源是天文学和力学，也就是自然科学。到2050年，更奇异的学科还会以同样的方式涌进数学。其中一个就是已经高度数学化了的量子物理学。今天，量子场论、几何学、拓扑学和代数学之间开始显现出新的令人惊奇的联系，跟着还会有更多。在未来50年里，量子场、超弦以及它们之外的各色理论所激发的新结构，将开出全新的代数和拓扑的天地。19世纪的数学家把传统的“实”数推广到“复”数，让-1有了平方根，也给数学带来了无限的生机。很快，数学的每一个领域都“复化”了：产生了与旧的实数的数学一样的硕果累累的复数的数学。量子化是21世纪的“复化”，我们将走进量子代数、量子拓扑、量子数论。
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然而，影响更大、更剧烈的却是生命科学激发的数学：生物数学。尽管人类基因组计划成功了，它的结果却面临着新的现实问题。人们清楚地发现，DNA序列没有带来治病的良方，更没有为我们带来对生命的更深远的认识。在我们关于基因和生命的认识之间还存在着巨大的鸿沟。关于如何维护我们的生态系统，如珊瑚礁和热带雨林，基因序列没有告诉我们一点儿东西。人们曾经相信人类基因组有10万个基因，结果错了，只有34000个。从基因走向蛋白质，那路线图比我们想象的复杂得多；实际上，也许根本没有那样的地图。基因是一个动态控制过程的一部分，那个过程不仅制造蛋白质，还不断修正它们，使它们在演化的生命里，在生命历程的恰当时刻，找到自己恰当的位置。认识这个过程所需要的远不仅是一列DNA密码，而我们缺少的多数东西都是数学的。不过那将是一门新的数学，把生命生长动力学与DNA的分子信息过程融合起来的数学。DNA密码依然重要，但不是全部。新的生物数学可能是组合数学、分析学、几何学和信息学的奇异混合。当然，还要加上许多生物学。
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在这个方向上，复杂系统的科学在不知不觉中蓬勃发展起来了。所谓复杂系统，指那些由大量以简单方式相互作用的、相对简单的组分（“中介”或者“实体”）所形成的系统。我们已经知道，表面上的简单是骗人的：从简单里能产生出高级的模式，即所谓的“突现现象”。例如，从人脑细胞的连通性产生出人的意识。到2050年，我们将拥有严格的关于突现现象和复杂系统的高级动力学的数学理论。它不仅会带来我们不曾梦想的概念，还将重新认识科学中的数学模型的局限。今天，复杂系统的研究主要在两个领域——生物和金融。例如，股票市场有许多中介，它们通过买卖股票相互影响。金融世界就从这样的相互影响中突现出来。金融和商务的数学将在革命中产生，它要抛弃现在流行的“线性”模型，带来数学结构更能准确反映现实世界的模型。
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更引人注目的是，数学将走进整个人类活动的领域——走进社会、艺术甚至政治。然而，我们不会像今天在自然科学那样运用新的数学。在物理学中，数学用来表达定量的定律，而对现实世界的预言通常是大量计算的结果，在这些计算中，定律与产生的模式之间的联系不是我们的大脑所能跟踪的。例如，为了模拟飓风的巨大涡旋，我们需要写下几十亿个小区域暖湿气体的运动方程，然后通过大量的计算来解这些方程。另一个方法是从方程的一般结构（如对称性）导出涡旋的形态，不过现在还不够成熟。一种“涡旋的微积分”有可能把我们从无穷的数字纠缠中解放出来。更一般地说，我们有希望看到一个关于动力学模式形成的定性的、上下关联的理论开始出现在眼前。
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最后，数学将帮助我们重新认识宇宙的模式——通过模式本身，而不是几十亿个跳动的数字，尽管模式是从那些数字中魔幻般产生出来的。
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斯特瓦特（Ian Stewart）因为对科学普及的杰出贡献而获得1995年皇家学会法拉第奖章。他为许多普及杂志写过大量关于数学的文章，如《发现》（Discovery）、《新科学家》（New Scientist）和《科学》（The Sciences）。他为《科学美国人》（Scientific American）写过10年的“数学娱乐”专栏文章，也是《新科学家》杂志的数学顾问。另外，他与Jack Cohen合作写了《混沌的衰落》（Collapse of Chaos）和《实在的幻境》（Figment of Reality），还独自完成了《上帝掷骰子吗？》（Does God Play Dice？）、《可怕的对称》（Fearful Symmetry）、《从这里到无限》（From Here to Infinity）、《大自然的数》（Nature’s Number）、《生命的另一个秘密》（Life’s Other Secret）和《更平直的世界》（Flatterland）。
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在文化的阴影里
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B·古德温
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在历史的这个时刻展望未来是很困难的，同在1600年一样困难。那时，除了君王还在，西方的封建制度已经被彻底打碎了。在新兴的民族国家和新教派的双重打击下，神圣罗马帝国皇帝的权威灰飞烟灭了。在后来的几十年里，30年战争又把欧洲送进新的黑暗年代。15那时，莎士比亚在用他的戏剧赞美复杂多变的人性，塑造从文艺复兴圣哲描绘的世界里走出的角色——在那样的世界里，天球的乐音表现着上天的和谐，爱的力量推动着世界的运行。伽利略在斜面上滚动他的圆柱，努力探索月亮和木星的奇特运动；不久，因为公开支持哥白尼，说地球确实在绕着太阳旋转（而不单是从数学观点看才那样），他受到了教会的惩罚。他犹豫着屈服了。16
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培根高度赞扬了伽利略认识自然的方法的精神，但走近知识的科学方法还在黑暗当中。关于人类等级的教会戒条，还有莎士比亚魔幻的世界观，就是那时对万物秩序和人类在宇宙间的地位的基本认识。谁能想到，在1600年阴影里的东西，50年后竟成为我们所谓现代的新文化方向的基础？伽利略的观察方法、测量方法和数学关系，为满目疮痍的文化带来了可靠的自然知识——那文化里一切可以信赖东西，已经被其他知识体系的碎片和30年战争的蹂躏剥夺干净了。牛顿通过他的行星运动理论，以引力取代了那个推动世界的“爱的力量”，很快令所有怀疑者相信，科学才是通向认识的正路。
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我们今天又来到一个文化的节点。这个时代是从近代走出来的，而我们已经看到，17世纪向近代的转变竟是那样意外，因此，我们今天说未来50年的事情，似乎是毫无意义的。不过，我们还是有办法为意外做好准备，即使不能预见将要发生什么，却可以让那转变更符合我们的心愿。这需要我们做一些跟本书其他文章相反的事情。我觉得应该把目光从未来50年移开，这样才好认识现在，并尽可能完整地感受它，特别感受那些处在阴影里的东西和正在开始走进光明的东西。这样，我们才可能摸索着走进一个新的未来，尽管我们不知道会走向何方。
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看得见的
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今天我们看到的，是科学、技术和商务的强大结盟，它开创了一个以预测、控制、创新、管理和扩张为首要原则基础的全球性的文化。这些原则的背后是理性和权力，培根曾倡导从这条道路去认识自然，用那些知识去砸碎人类的枷锁。这是一条康庄大路。通过科学知识的应用所创造的财富和工具，通过驱动资本主义发展的扩张机器，我们的确能够把人类从饥饿和贫穷中解放出来。然而，问题并没有像我们期待的那样得到解决。世界上还有许许多多（而且还在增加）的人生活在饥饿和穷困中；农业用地和自然资源正越来越多地遭到破坏；土地、海洋和空气的污染正影响着地球上的所有生命；矿物燃料的燃烧导致全球变暖，结果大气也变得更加混乱；物种正以自二叠纪和白垩纪末的生物大灭绝以来所不曾有过的速度走向灭绝；跨国组织的兴起，强化了无节制的全球货物和服务贸易，民族国家保护它们公民的能力越来越微弱。由于信息技术的惊人扩张，投资和资本运营的决策有时竟可能破坏市场的稳定，甚至瓦解政府。不断发展的气候混沌也广泛反映在政治混沌里，传统的说教似乎不能实现稳定与安全——那可是科学和技术（现代给我们的礼物）首先带给我们的东西。出人意料的是，我们今天又被拖进了黑暗年代，比30年战争更危险，因为今天面临的是全球的瓦解。
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所有这些令人悲哀的事情都是看得见的。今天的这一幅伤心的景象，也许为我们带来及时的启示，也许提醒我们通过现代潮流的新的和谐与融合走向更加美好的未来。我不看好这两种可能，我想更需要认识我们目前状态下那些不容易看见却很可能突然涌现的东西。我的目的不是描绘未来的50年，而是要在未来图景还不明朗的今天，看看有什么朦胧出现的可能激发创造性活动的东西。
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看不见的
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我是一个科学家，可能为我们的未来做出巨大贡献的也是科学，所以，我要更多地反思隐藏在科学大厦外的可能发生作用的那些事情。我讲的第一个故事与伽利略在教会的经历有着共鸣，他当年被迫放弃了他支持的地球绕着太阳旋转的所谓异端邪说。
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20世纪60年代，科学家和发明家洛夫洛克（James Love-lock）正在国家航空航天局（NASA）做着有关地外生命的事情。他发现，地球大气的组成使它在某种意义上不同于其他行星，这样，它可能向我们揭示出生命与非生命环境之间的某些深刻联系。他在科学杂志《自然》上撰文指出，生命并不是简单地适应它生根的行星所给定的环境，它还改变那些环境，让它们稳定下来从而使自己长期生存下去。这个观点得到了生物学证据的支持和光大，证据来自马各里斯（Lynn Margulis）对微生物改变行星条件的力量的研究；1974年，洛夫洛克和马各里斯联名在《大地》（Tellus）杂志发表文章，向科学世界公布了他们所谓的“盖亚假说”。这本是建立在牢固的事实基础上的科学，却披着古希腊大地女神的外衣。17科学界从他们听说了什么呢？他们把假说丢到外边的黑暗里去了。18为什么？因为洛夫洛克和马各里斯违背了两个（而不是一个）正统的科学原则。第一，他们认为进化存在某些违背达尔文原理的基本东西。根据盖亚假说，生命并不简单服从地球给定的条件，而会改变那些条件来适合它们的生活。例如，微生物能改变大气组成（CO2，CH4，NH3，O2），这样温度就保持在生命能延续的一定范围内。于是，整个地球可以看作一个生命系统，它也像生命那样调整自己的活力。
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第二，他们在假说里用了“盖亚”这个词，似乎说地球本身也是某种生命，而不是科学所认为的实现行星运动的盲目的机械过程的集合。大地女神的形象对积极的环境保护主义者来说是特别高大有力的，他们一直在抗议对地球自然资源的掠夺，抗议对土地、海洋和空气的污染——如过度燃烧矿物燃料产生的污染。许多人在意识到我们对我们的地球做过什么并继续在那样做时，会感到伤心和愤怒，盖亚的形象成为那些情绪的一个焦点。
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把盖亚请出来的洛夫洛克，因为假说里的那些邪说，结果被科学的教会驱逐出去了。关于第一点，他进行了有力的辩护。他承认达尔文的自然选择原理是一种进化机制，但他坚持认为生命除了适应地球环境的变化，本身也能改变地球的环境。今天科学界接受了这个原理，以“地球系统科学”这个名词来描绘洛夫洛克和马各里斯提出的那个更广阔的地球进化图景。不过，它的接受也付出了代价：洛夫洛克放弃了地球具有倾心眷顾生命的品性的观点——它听起来像万物有灵，是科学绝对禁止的东西；假如它真存在于我们文化的什么地方，那一定在最幽深的阴影里。
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