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在不可通约数的情况中就是这样。我们归因于直觉的连续性的模糊观念本身分解为关于整数的不等式的复杂系统。
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借助于这种方法，由通过极限或考虑到无限小而引起的困难终于被消除了。今天，在解析中，仅仅剩下整数，或者说，整数的有限或无限的系统被相等或不等关系的网格约束在一起。正如数学家所说，数学被算术化了。
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Ⅲ
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第一个问题呈现出来。这种演变终结了吗？我们最终达到绝对的严格性了吗？在每一个演变阶段，我们的祖先也曾认为，他们已经达到了严格性。如果他们欺骗了他们本人，难道我们没有同样欺骗我们自己吗？
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我们自信，我们在推理中不再诉诸直觉；哲学家告诉我们，这是假象。纯逻辑永远也不能使我们得到除同义反复之外的任何东西；它不能创造任何新东西；任何科学也不能仅仅从它产生出来。在这一意义上，这些哲学家是对的；要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一个词后，潜藏多少不同的想法呢？
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比较一下这四个公理：（1）等于第三个量的两个量彼此相等；（2）若一定理对数1为真，假定它对n为真，如果我们证明它对n+1为真，则它对所有整数均为真；（3）设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间；（4）通过一个定点，仅有一条直线与已知直线平行。
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所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则；第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础；第三个求助于想象；第四个是伪定义。
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直觉不必建立在感觉明白之上；感觉不久便会变得无能为力；例如，我们无法向自己描绘千角形，可是我们能够通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。
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你们知道彭赛列（Poncelet）借助连续性原理所理解的东西。彭赛列说，对实量为真之理对虚量也应为真；对有实渐近线的双曲线为真之理从而对有虚渐近线的椭圆也应为真。彭赛列是19世纪[2]最具有直觉精神的人之一；他对直觉是如此之酷爱，如此之夸耀；他把连续性原理视为他的一个最大胆的概念，这个原理还不依赖感觉的明白。更确切地说，把双曲线看做与椭圆类似，是与这种明白相矛盾的。这只是一种早熟的、本能的概括，而且我不想为之辩护。
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于是，我们有多种直觉；首先，求助于感觉和想象；其次，通过归纳进行概括，而归纳可以说是摹写实验科学的程序；最后，我们有纯粹数的直觉，我刚才阐述的第二个公理即由此而生，它能够创造真正的数学推理。我在上面已用例子表明，前两个公理不能给我们以必然性；但是，谁当真会怀疑第三个呢？谁会怀疑算术呢？
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于是，在今日的解析中，当人们想千方百计地追寻严格性时，除了三段论或诉诸纯粹数的直觉外，则别无它法，惟有这种直觉不会欺骗我们。可以说，绝对严格性今天已被达到。
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Ⅳ
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哲学家还做出另外的诘难，他们说：“你在严格性方面有所得，你将在客观性方面有所失。你只有割断把你和实在连接起来的结合物，你才能够达到你的逻辑理想。你的科学是确实可靠的，但是只有把它束缚在象牙塔内，断绝它与外部世界的所有联系，它才能够继续存在下去。若试图稍稍应用它，它就会从这个囚禁之处逃逸出去。”
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例如，我企图证明，某一特性附属于某一对象，该对象的概念乍看起来似乎不可定义，因为它是直觉的。起初，我或者失败，或者必须满足近似的证明；我最后决定给我的对象下精确的定义，这使我以无可指责的方式确立这一特性。
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哲学家说：“于是，依然要证明，对应于这个定义的那个对象的确与你通过直觉所认识的对象是相同的；或者依然要证明，你立即自信你辨认出的、与你的直觉观念一致的、某个真实而具体的对象对应于你的新定义。然后，你才能断言，它具有所述的那种特性。你只不过是转移了困难而已。”
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情况并非严格如此；困难未被转移，它只是被分开了。所确立的命题实际上由乍看起来没有区别的、两种不同的真理构成。其一是数学的真理，它现在已被严格地建立起来了。其二是实验的真实性。惟有经验能够告诉我们，某个真实而具体的对象对应于或不对应于某个抽象的定义。这第二种真实性在数学上未被证明，它也不能用数学证明，物理科学和自然科学的经验定律同样也不能用数学证明。要打破砂锅问到底也许就不合道理了。
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于是，把长期以来错误地混为一谈的东西区分开来，这不是一大进展吗？这意味着统统驳回了哲学家的这一诘难吗？我不想那样说；数学科学在变成严格的科学时，它获得如此人为的特征，以致给每一个人都留下了印象；它忘记了它的历史起源；我们看到问题应该怎么回答，我们不再理会问题如何提出和为何提出。
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这向我们表明，逻辑不是充分的；证明的科学并非全部科学，直觉作为补足物必然保持它的作用，我正要说直觉作为逻辑的平衡物或矫正物。
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在讲授数学科学时，我已有机会坚持直觉应该占有的地位。没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。但是，现在我首先要谈谈直觉在科学本身中的作用。如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的。
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Ⅴ
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我们寻求实在，可是实在是什么呢？生理学家告诉我们，有机体是由细胞形成的；化学家附加道，细胞本身是由原子形成的。这意味着这些原子或这些细胞构成实在，或确切地讲，构成惟一的实在吗？这些细胞排列的方式和导致个体统一的方式不也是比孤立的要素的实在更为有趣的实在吗？除了用显微镜外，从未研究过大象的博物学家能够认为他自己充分地了解这种动物吗？
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好了，在数学中也有一些与此类似的东西。可以说，逻辑主义者因之把每一个证明分为许多基本演算；当我们已经相继审查了这些演算，并确认每一个都正确无误的时候，我们必须认为我们已经把握了该证明的真正意义吗？即使当我们博闻强记，正好运用发明者排列这些基本运算的顺序而重演它们，从而能够重复这一证明时，我们可以理解它吗？显然不能；我们还不具有全部实在；我不知道什么东西造成了证明的一致，这将使我们感到十分困惑。
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纯粹解析把许多程序提供给我们使用，它保证这些程序是确实可靠的；它向我们开辟了成千条不同的大道，我们可以满怀信心地迈步在这些大道上；我们确信在那里没有障碍；但是，在所有这些道路中，哪一条会最迅速地把我们引向我们的目标呢？谁将告诉我们应该选择哪一条呢？我们需要使我们具有一览遥远目标的本领，直觉就是这样的本领。直觉对于选择他的路线的探索者来说是必要的；对于那些追随他的足迹、欲知他为什么要选择那条路线的人来说，情况也是如此。
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假如你正在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有多少价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他本可以在不违反下棋规则的情况下走那一步的。可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。也就是说，这一本领对于棋手本人更为必要，对发明家来说也是这样。
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让我们撇开这种比较而返回到数学上来吧。例如，看看连续函数观念所发生的情况。起初，这仅仅是可感觉的图像，例如用粉笔在黑板上勾画的连续痕迹的图像。然后，它渐渐地变得精细了；不久，它被用来构造复杂的不等式系统，这可以说是摹写了原始图像的全部线条；这座建筑物竣工后，拱架好比说被拆除了，临时作为支架而此后毫无用处的粗糙的表象被抛弃了；保留下来的仅仅是建筑物本身，在逻辑主义者看来，该建筑物是无懈可击的。但是，倘若原始图像从我们的回忆中统统消失，那么所有这些不等式以这种方式相互堆叠，我们究竟是借助什么随想而如何神悟的呢？
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