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好了，在数学中也有一些与此类似的东西。可以说，逻辑主义者因之把每一个证明分为许多基本演算；当我们已经相继审查了这些演算，并确认每一个都正确无误的时候，我们必须认为我们已经把握了该证明的真正意义吗？即使当我们博闻强记，正好运用发明者排列这些基本运算的顺序而重演它们，从而能够重复这一证明时，我们可以理解它吗？显然不能；我们还不具有全部实在；我不知道什么东西造成了证明的一致，这将使我们感到十分困惑。
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纯粹解析把许多程序提供给我们使用，它保证这些程序是确实可靠的；它向我们开辟了成千条不同的大道，我们可以满怀信心地迈步在这些大道上；我们确信在那里没有障碍；但是，在所有这些道路中，哪一条会最迅速地把我们引向我们的目标呢？谁将告诉我们应该选择哪一条呢？我们需要使我们具有一览遥远目标的本领，直觉就是这样的本领。直觉对于选择他的路线的探索者来说是必要的；对于那些追随他的足迹、欲知他为什么要选择那条路线的人来说，情况也是如此。
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假如你正在观棋，要弄懂一盘比赛，仅知道棋子走动的规则是不够的。那只能使你辨认每一步符合这些规则，这种知识的确没有多少价值。如果读数学书的人仅仅是一位逻辑主义者，那么他也会这样做。要弄懂棋赛完全是另一回事；必须了解棋手为什么走这个棋子而不走那个棋子，他本可以在不违反下棋规则的情况下走那一步的。可以察觉出使这一系列相继的步子成为一种有机的整体的内在根据。也就是说，这一本领对于棋手本人更为必要，对发明家来说也是这样。
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让我们撇开这种比较而返回到数学上来吧。例如，看看连续函数观念所发生的情况。起初，这仅仅是可感觉的图像，例如用粉笔在黑板上勾画的连续痕迹的图像。然后，它渐渐地变得精细了；不久，它被用来构造复杂的不等式系统，这可以说是摹写了原始图像的全部线条；这座建筑物竣工后，拱架好比说被拆除了，临时作为支架而此后毫无用处的粗糙的表象被抛弃了；保留下来的仅仅是建筑物本身，在逻辑主义者看来，该建筑物是无懈可击的。但是，倘若原始图像从我们的回忆中统统消失，那么所有这些不等式以这种方式相互堆叠，我们究竟是借助什么随想而如何神悟的呢？
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也许你认为我使用了过多的比喻；可是，请原谅我再做一个比喻。你无疑见过形成某些海绵骨骼的硅质针状的纤细集合物。当有机物质消失时，留下的只是易脆的美丽的网眼薄纱。的确，除了二氧化硅外别无它物，可是有趣的是这种二氧化硅所具有的形状；如果我们不知道正好使二氧化硅呈现这一形状的活海绵，我们便不能理解它。因而，正是我们祖先的古老的直觉观念，即使当我们已经抛弃了它们，它们的形式还铭刻在我们用来代替它们的逻辑结构上。
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对于发明家来说，这种集合物的观点是必不可少的；对于希望实际了解发明家的任何人来说，它同样是不可欠缺的。逻辑能够把它给予我们吗？不能；数学家给它起的名字足以证明这一点。在数学中，逻辑被称为解析，解析意味着分解、分析。因此，除了解剖刀和显微镜外，不会有其他工具。
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这样一来，逻辑和直觉各有其必要的作用。二者缺一不可。惟有逻辑能给我们以确定性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具。
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Ⅵ
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但是，在提出这个结论时，我总是顾虑重重。当初，我区分了两种类型的数学心智，一类是逻辑主义者和解析家，另一类是直觉主义者和几何学家。咳，解析家也是发明家。我前面列举的人名足以说明这一事实，没有必要详述了。
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在这里，存在着一个需要说明的矛盾，至少在表面上是这样。首先，正像形式逻辑规则要求这些逻辑主义者那样，他们总是从一般到特殊，你认为是这样吗？于是，他们无法开拓科学的疆界；科学的征服只能靠概括进行。
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在《科学与假设》的一章中，我有机会研究了数学推理的本性，而且我已经表明，在不失去绝对严格性的情况下，通过我称之为数学归纳法的程序，这种推理如何把我们从特殊提升到一般。正是借助于这种程序，解析才促成了科学的进步；如果我们审查一下他们证明的细节，我们将会发现，它每时每刻都与亚里士多德经典的三段论无关。因此，我们已经看到，解析家并非仿效经院哲学家的样式，仅仅是三段论的制造者。
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还有，你认为他们看不到他们希望达到的目标，总是一步一步地摸索着前进吗？他们必须推测通向那里的道路，为此他们需要向导。这个向导首先是类比。例如，解析中一种宝贵的证明方法是建立在强函数使用之上的方法。我们知道，它已经用来解决了许多问题；那么，希望把它应用到新问题中的发明家的作用何在呢？最初，他必须辨认这个问题与用这种方法已经解决的那些问题类似；然后，他必须察觉这个新问题在什么方面与其他问题不同，从而推断应用于该方法所必需的修正。
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但是，人们怎样察觉这些类似和这些差别呢？在我刚才举的例子中，它们几乎总是一目了然的，但是我可以找到它们潜藏得比较深的其他例子；为了发现它们，往往需要非同寻常的洞察力。为了不让这些隐藏的类似逃脱，就是说为了成为一个发明者，解析家必须在不借助于感觉和想象的情况下，直觉到一项推理的一致性由什么构成，也可以这样说，它的灵魂和最深处的生命由什么构成。
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当人们与埃尔米特先生谈论时，他从来也不乞灵于感觉图像，但是你立即就会察觉，最抽象的实体对他来说都像栩栩如生的存在一样。他虽然不目视它们，但心里却领悟出它们不是人为的集合物，它们具有某种内部统一的原则。
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然而，有人会说，它还是直觉。我们能够得出最初所做出的区分仅仅是表面的，仅存在一种心智，所有的数学家都是直觉主义者，至少那些能够做出发明的数学家是直觉主义者这样的结论吗？
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不能，我们的区分对应于某种实在的东西。我在上面已经说过，存在许多类型的直觉。我说过，严格的数学归纳法所渊源的纯粹数的直觉与作为主要贡献者的、被恰当地称之为想象的可觉察的直觉，是何等大相径庭。
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把它们分隔开的鸿沟没有起初看到的那么幽深吗？稍加注意，我们能够辨认出这种纯粹直觉本身不借助于感觉就无法行动吗？这是心理学家和玄学家的事情，我不想讨论这个问题。此事虽未确定，但在分辨和坚持两种类型的直觉之间的基本差别方面，足以证明我是正确的；它们没有相同的对象，它们似乎发挥出我们心灵的两种不同的官能；人们也许会想象两盏探照灯，引导陌生人相互往来于两个世界的情景。
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正是纯粹数的直觉、纯粹逻辑形式的直觉，启发和引导我们称之为解析家的人。就是这种直觉，不仅使他们能够证明，而且使他们能够发明。借助这种直觉，解析家一眼就察觉到逻辑大厦的总图，而且似乎在没有感觉介入的情况下也是这样。正如我们已经看到的，想象并非总是确实无误的，解析家在舍弃想象的帮助的情况下也能够勇往直前，而不担心上当受骗。因此，不要这种帮助而能够有所作为的人是幸运的！我们必须羡慕他们；可是，这样的人何其之少！
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到那时，在解析家中间将有发明家，可是他们却寥寥无几。如果我们希望仅凭纯粹直觉放眼眺望，那么我们中的大多数人立即就会感到头晕目眩。由于我们软弱无力，我们需要更坚强的助手，而且不管我刚才讲的例外，敏感的直觉在数学中是最有用的发明工具依然是正确的。
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谈到这些见解，又有一个问题提了出来，我既无暇解决它，甚或无暇就它所容许的发展阐述它。这就是，有做出新的区分、有在解析家中间区分出首先使用纯粹直觉的人和首先专注于形式逻辑的人的余地吗？
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例如，我刚才列举的埃尔米特不能归之于几何学家之中，而他却使用可觉察的直觉；但是，他也不能恰当地称之为逻辑主义者。他毫不隐讳他对从一般开始、到特殊终结的纯粹演绎程序的反感。
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[1]沃邦（Marquis de Vauban，1633～1707年），法国有名望的军事工程师和元帅。——中译者注
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[2]原文为“本世纪”。因为彭赛列的生卒年为1788～1867，故改为“19世纪”。本章可能是彭加勒在19世纪末写的一篇文章或讲稿，收入书中时未作修改。——中译者注
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