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所有这一切相对说来都易于理解，我已经多次重复了，我想不需要进一步详述这个问题了。欧几里得空间不是强加于我们感觉的形式，由于我们能够想象非欧空间；但是，两种空间——欧几里得空间和非欧空间——均以我在开始提到的无定形连续统作为共同的基础。从这种连续统出发，我们或者能得到欧几里得空间，或者能得到罗巴契夫斯基（Lobachevsky）空间，犹如我们在未标度的温度计上刻画适当的刻度，把它做成华氏（Fahrenheit）温度计或列氏（Réaumur）温度计一样。
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于是，又出现了一个问题：这种无定形的连续统——我们的分析容许它幸存——是强加于我们感觉的形式吗？倘若如此，我们应该扩大拘禁我们感觉的监牢，但是它总是一个监牢。
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这种连续统具有被免除所有测量观念的若干特性。研究这些特性是科学的对象，许多大几何学家，尤其是黎曼和贝蒂（Betti）培植了它，它得到了拓扑学的名称。在这门科学中，抽象是由每一个定量观念组成的，例如，如果我们断言，在一条线上，点B在点A和点C之间，我们将满足这一断言，至于线ABC是直线还是曲线，抑或长度AB等于长度BC还是它的两倍大，不必费心去了解。
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因此，拓扑学的定理具有这种特色，即使图形由不熟练的制图员描画，他严重地改变了所有的比例，他把直线画得弯弯曲曲，但是定理依然为真。用数学术语来讲，没有用任何“点变换”来改变它们。人们往往说，度量几何学是定量几何学，而射影几何学则是纯粹定性的。这不完全为真。直线还是能用在一些方面依然具有定量的特性与其他线区别开来。因此，真正的定性几何学是拓扑学。
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关于欧几里得几何学真理所提出的同一问题，在拓扑学的定理中被重新提了出来。它们能够通过演绎推理得到吗？它们隐蔽了约定吗？它们是实验的真实性吗？它们是或者强加于我们感性、或者强加于我们知性的形式的特征吗？
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我只希望注意，最后两个解答是互不相容的。我们不能同时承认，设想四维空间是不可能的和经验向我们证明空间有三维。实验家向自然提出一个问题：它是这个还是那个？在没有设想二者择一的两个措词的情况下，他无法表述它。如果无法设想这些措词之一，那么诉诸经验既无用，也不可能。无须观察就可以知道，时钟的指针在表面没有指示15时，因为我们预先知道只有12时，我们也无须查看指针是否在15的刻度处，因为根本就没有这个刻度。
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同样也要注意，在拓扑学中，经验论者摆脱了能够把他们难倒的一个最严重的反对理由，摆脱了使他们把自己的论点用于欧几里得几何学真实性的全部努力事先绝对落空的困境。欧几里得几何学的真实性是严格的，而实验仅仅是近似的。在拓扑学中，近似的实验足以给出严格的定理；例如，如果人们看到空间既不能有两维，也不能小于两维，或者既不能有四维，也不能大于四维，那么我们可以肯定，它严格地有三维，由于它不会有两维半或三维半。
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在拓扑学的所有定理中，最重要的是在谈到空间有三维时所阐述的定理。这就是我正准备考虑的东西，我想用这句话提出问题：当我们说空间有三维时，我们意味着什么呢？
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3.多维物理连续统
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我在《科学与假设》中已说明过，我们从何处推导出物理连续统的概念，数学连续统的概念怎样由它产生。正巧，我们能够相互区分两种印象，而无法把每一个与第三个区分开来。例如，我们能够毫无困难地把12克的重物与10克的重物区别开来，而11克的重物既不能与12克的重物区别开来，也不能与10克的重物区别开来。把这样一个陈述翻译成符号，则可以写为：
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A=B，B=C，A
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这就是物理连续统的公式，虽然粗糙的经验把它给予我们，但是由此却产生了无法容忍的矛盾，只有引入数学连续统方能消除这个矛盾。这就是其步骤（有公度数和无公度数）在数目上是无限的但却互为外部的尺度，这些步骤不像与前述公式一致的物理连续统的元素那样互相侵犯。
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可以说，物理连续统犹如无法分辨的星云；最完善的仪器也不能成功地分辨它。毫无疑问，如果我们不用手判断重量，而用可靠的天平来称量重量，那么我们便能把11克的重物与10克的重物和12克的重物区别开来，我们的公式变成：
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A
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但是，我们总可以在A和B之间、B和C之间找到新元素D和E，这样一来
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A=D，D=B，A
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困难只不过向后退去，星云依然无法分辨；惟有心智才能够分辨它，正是作为精神产物的数学连续统把星云分解为恒星。
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不过，到这时我们还没有引入维数的概念。当我们说数学连续统或物理连续统有两维或三维时，这意味着什么呢？
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要研究物理连续统，我们首先必须引入截量的概念。我们已经看到，物理连续统的特征是什么。这个连续统的每一个元素都由印象流形组成；可以发生下面两种情况：或者，一个元素不能与同一连续统的另一个元素区分开来，倘若这个新元素对应于差别不大的印象流形；或者相反地，区分是可能的；最后，两个元素与第三个不可区分，不过它们却可以相互区分，这种情况也可能发生。
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设A和B是连续统C的两个可区分的元素，可以找到都属于同一个连续统C的元素系列E1，E2，……En，于是它们中的每一个与先前的都不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分。因此，我们可以沿着一条连续的路线从A走到B，而且不离开C。如果这个条件对连续统C的任何两个元素A和B都满足，我们就可以说，这个连续统C是完全连在一起的。现在，让我们区分C的某些元素，这些元素或者都可以相互区分，或者它们本身形成一个或几个连续统。在C的所有元素中，这样任意选择的元素的集合物将形成我所谓的一个或多个截量。
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在C中取任何两个元素A和B。我们或者能找到这样的元素系列E1，E2，……En；以至于（1）它们都属于C；（2）它们的每一个都与接着的元素不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分；（3）此外，没有一个元素E与截量的任何元素不可区分。或者相反，在满足头两个条件的每一个系列E1，E2，……En中，将存在元素E，它与该截量的元素之一不可区分。在第一种情况下，我们能够通过一条连续的路线从A走到B，同时不离开C，也不遇到截量；在第二种情况下则不可能。
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对于连续统C的任何两个元素A和B而言，如果这时总是呈现出第一种情况，我们将说，尽管有截量，C依然是完全连在一起的。
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例如，倘若我们按某一方式选择截量，而在其他方面则是任意的，那么连续统或者依然是完全连在一起的，或者它不再完全连在一起；在后一假设中，我们将说它被截量分割。
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要注意，所有这些定义在提出时是惟一地从这个十分简单的事实中构造出来的，两个印象流形有时能够区分，有时不能够区分。假定要分割一个连续统，如果足以把相互都不可区分的若干元素视为截量，我们就说这个连续统是一维的；相反地，要分割一个连续统，如果必须把形成一个或多个连续统的元素本身的系统视为截量，我们就说这个连续统是多维的。
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要分割一个连续统C，如果形成一个或多个一维连续统的截量就足够了，我们便说C是二维连续统；如果形成一个或多个至多是二维连续统的截量就足够了，我们便说C是三维连续统；如此等等。
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