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1704830567 困难只不过向后退去，星云依然无法分辨；惟有心智才能够分辨它，正是作为精神产物的数学连续统把星云分解为恒星。

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1704830569 不过，到这时我们还没有引入维数的概念。当我们说数学连续统或物理连续统有两维或三维时，这意味着什么呢？

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1704830571 要研究物理连续统，我们首先必须引入截量的概念。我们已经看到，物理连续统的特征是什么。这个连续统的每一个元素都由印象流形组成；可以发生下面两种情况：或者，一个元素不能与同一连续统的另一个元素区分开来，倘若这个新元素对应于差别不大的印象流形；或者相反地，区分是可能的；最后，两个元素与第三个不可区分，不过它们却可以相互区分，这种情况也可能发生。

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1704830573 设A和B是连续统C的两个可区分的元素，可以找到都属于同一个连续统C的元素系列E1，E2，……En，于是它们中的每一个与先前的都不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分。因此，我们可以沿着一条连续的路线从A走到B，而且不离开C。如果这个条件对连续统C的任何两个元素A和B都满足，我们就可以说，这个连续统C是完全连在一起的。现在，让我们区分C的某些元素，这些元素或者都可以相互区分，或者它们本身形成一个或几个连续统。在C的所有元素中，这样任意选择的元素的集合物将形成我所谓的一个或多个截量。

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1704830575 在C中取任何两个元素A和B。我们或者能找到这样的元素系列E1，E2，……En；以至于（1）它们都属于C；（2）它们的每一个都与接着的元素不可区分，E1与A不可区分，En与B不可区分；（3）此外，没有一个元素E与截量的任何元素不可区分。或者相反，在满足头两个条件的每一个系列E1，E2，……En中，将存在元素E，它与该截量的元素之一不可区分。在第一种情况下，我们能够通过一条连续的路线从A走到B，同时不离开C，也不遇到截量；在第二种情况下则不可能。

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1704830577 对于连续统C的任何两个元素A和B而言，如果这时总是呈现出第一种情况，我们将说，尽管有截量，C依然是完全连在一起的。

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1704830579 例如，倘若我们按某一方式选择截量，而在其他方面则是任意的，那么连续统或者依然是完全连在一起的，或者它不再完全连在一起；在后一假设中，我们将说它被截量分割。

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1704830581 要注意，所有这些定义在提出时是惟一地从这个十分简单的事实中构造出来的，两个印象流形有时能够区分，有时不能够区分。假定要分割一个连续统，如果足以把相互都不可区分的若干元素视为截量，我们就说这个连续统是一维的；相反地，要分割一个连续统，如果必须把形成一个或多个连续统的元素本身的系统视为截量，我们就说这个连续统是多维的。

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1704830583 要分割一个连续统C，如果形成一个或多个一维连续统的截量就足够了，我们便说C是二维连续统；如果形成一个或多个至多是二维连续统的截量就足够了，我们便说C是三维连续统；如此等等。

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1704830585 为了证明这个定义是正当的，最好审查一下几何学家是否在他们工作的开始用这种方法引入三维概念。现在，我们看到什么呢？通常，他们是这样开始的：把面定义为立体或空间的部分的边界，把线定义为面的边界，把点定义为线的边界，而且他们坚决主张，同一程序不能够进一步推下去。

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1704830587 这正好是上面给出的观念：为了分割空间，需要称之为面的截量；为了分割面，需要称之为线的截量；为了分割线，需要称之为点的截量；我们不能进一步走下去，点不能被分割，所以点不是连续统。于是，能够被不是连续统的截量分割的线将是一维连续统；能够被一维的连续截量分割的面将是二维连续统；最后，能够被二维连续截量分割的空间是三维连续统。

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1704830589 这样看来，我刚才所下的定义与通常的定义基本上没有差别；我只不过是给它一种不适用于数学连续统的形式，而给它以适用于物理连续统的形式，只有物理连续统的形式易被表象，并且还保持它的全部精确性。此外，我们看到，这个定义不仅仅适用于空间；在处于我们感官下的一切事物中，我们都发现物理连续统的特征，这便容许相同的分类；在前述定义的意义上，很容易找到四维、五维连续统的例子；这样的例子是心智自然而然地想到的。

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1704830591 最后，如果我有时间的话，我应该说明一下，我上面谈到的、黎曼称之为拓扑学的这门科学教导我们在同一维数的连续统之间进行区分，这些连续统的分类也建立在截量考虑的基础上。

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1704830593 从这一概念产生出多维数学连续统的概念，其方法与一维物理连续统产生一维数学连续统的方法相同。公式

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1704830595 A>C，A=B，B=C

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1704830597 概括了粗糙经验的材料，它隐含着无法容忍的矛盾。为了摆脱这个矛盾，有必要引入新概念，但是依然保留多维物理连续统的基本特征。容许其分割在数目上是无限尺度的一维数学连续统，对应于同样大小的有公度的或无公度的值。要得到n维数学连续统，只要取n个相同的尺度，使其分割对应于称之为坐标的n个独立的量的不同值就足够了。从而，我们将有n维物理连续统的图像，在做出不允许我上面讲过的矛盾这一决定之后，这个图像将像它事实上能够的那样可信。

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1704830599 4.点的概念

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1704830601 现在，情况似乎是，我们在开始向我们提出的问题得到了解答。当我们说空间有三维时，这就是说，我们意指空间的点的流形满足我们刚才给予的三维物理连续统的定义。只有设想我们知道什么是空间的点的流形，甚或什么是空间的一个点时，我们才会心满意足。

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1704830603 目前，事情并非像人们设想的那样简单。每一个人都自信他知道点是什么，正因为我们对它了解得过于彻底，我们才认为不需要定义它。的确，我们不能要求知道如何定义点，因为在从定义追溯定义中，我们必须停顿下来的时刻必将到来。但是，我们何时应该止步呢？

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1704830605 首先，当我们达到处于我们感官之下的对象或能够想象出这个对象时，我们将停步不前；于是定义将变得毫无用处；我们没有给小孩定义羊；我们对他说：看这只羊。

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1704830607 然后我们应该问问自己，是否可以这样来想象空间的点。那些回答是的人没有考虑，他们实际上想象的是用粉笔在黑板上所画的白点或用钢笔在白纸上所画的黑点，他们只能想象对象，或者确切地讲，只能想象这个对象在他们的感官上造成的印象。

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1704830609 当他们企图想象点时，他们想象的是十分微小的对象使他们感觉到的印象。不需要进而说两个不同的对象——尽管二者很小——可以产生迥然不同的印象，但是我不愿详细讲述这个困难，这还需要做一些讨论。

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