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现在，情况似乎是，我们在开始向我们提出的问题得到了解答。当我们说空间有三维时，这就是说，我们意指空间的点的流形满足我们刚才给予的三维物理连续统的定义。只有设想我们知道什么是空间的点的流形，甚或什么是空间的一个点时，我们才会心满意足。
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目前，事情并非像人们设想的那样简单。每一个人都自信他知道点是什么，正因为我们对它了解得过于彻底，我们才认为不需要定义它。的确，我们不能要求知道如何定义点，因为在从定义追溯定义中，我们必须停顿下来的时刻必将到来。但是，我们何时应该止步呢？
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首先，当我们达到处于我们感官之下的对象或能够想象出这个对象时，我们将停步不前；于是定义将变得毫无用处；我们没有给小孩定义羊；我们对他说：看这只羊。
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然后我们应该问问自己，是否可以这样来想象空间的点。那些回答是的人没有考虑，他们实际上想象的是用粉笔在黑板上所画的白点或用钢笔在白纸上所画的黑点，他们只能想象对象，或者确切地讲，只能想象这个对象在他们的感官上造成的印象。
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当他们企图想象点时，他们想象的是十分微小的对象使他们感觉到的印象。不需要进而说两个不同的对象——尽管二者很小——可以产生迥然不同的印象，但是我不愿详细讲述这个困难，这还需要做一些讨论。
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但是，它还不是那个问题；描述一个点并不充分，必须描述一个确定的点，并且有办法把它与其他点区别开来。事实上，我们可以把我上面陈述的法则用于连续统，人们借助这些法则能够分辨出连续统的维数，我们必须依赖这个连续统的两个元素有时能区分开、有时不能区分开的事实。因此，在某些情况下，我们有必要了解如何想象一个特定的元素，如何把它与其他元素区分开来。
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问题在于了解，我一小时前想象的点与我现在想象的这个点是相同的点，或者它是不相同的点。换句话说，我们如何知道，物体A在时刻α所占据的点是否与物体B在时刻β所占据的点是同一点，或者更明确地讲，这意味着什么？
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我坐在我的房间里；一个物体放在我的桌子上；在一秒钟内，我没有动，也没人接触该物体。我被诱使说，这个物体在这一秒之初所占据的点A与它在这一秒之末所占的点B相同。根本不是这样；从A点到B点是30千米，因为该物体被携带着和地球一起运动。我们无法知道，一个不管是大是小的物体是否不改变它在空间中的绝对位置，我们不仅不能断言它，而且这一断言毫无意义，在任何情况下都不能与任何表象对应起来。
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但是，我们可以接着问我们自己，一个物体对于另一个物体的相对位置是否变化了，而且首先要问这个物体对于我们身体的相对位置是否变化了。如果这个物体给我们造成的印象没有变化，我们将倾向于断定，二者都未改变这个相对位置；如果印象变化了，我们将断定，这个物体或者状态变化了，或者相对位置变化了。依然要确定两个中的哪一个变化了。我在《科学与假设》中已说明过，我们怎样被引导去区分位置变化。而且，我想进一步回到这个问题上。因此，我们终于了解到，物体对于我们身体的相对位置是否依然相同。
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如果我们现在看到，两个物体相对于我们的身体保持它们的相对位置，那么我们就得出结论说，这两个物体彼此之间的相对位置没有变化；但是，我们仅仅是依据间接的推理达到这个结论的。我们直接知道的只不过是物体相对于我们身体的相对位置。更加毋庸置疑的是，仅仅依据间接的推理，我们认为我们知道（而且，这种自信是虚妄的）物体的绝对位置是否变化了。
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简而言之，我们自然而然地使所有外部物体参照的坐标系是与我们的身体恒定地密切结合的坐标系，它随着我们一起移动。
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不可能想象绝对空间；当我力图想象物体和我自己同时在绝对空间运动时，我实际上想象我自身不动，似乎各种物体和在我之外、名曰我的人绕着我运动。
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如果我们使每一种事物都参照与我们身体密切结合的坐标轴，困难会得到解决吗？而且，我们能知道用事物相对于我们自己的相对位置来定义的点是什么吗？许多人将回答能，并且说坐标轴“定域”外部对象。
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这意味着什么呢？定域对象仅仅意味着想象必须接近它的动作。我愿说明我的意思。这不是描述在空间中动作本身的问题，而仅仅是想象伴随这些动作的、不以空间概念的预先存在为先决条件的肌肉感觉。
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假如我们设想，两个不同的对象相对于我们自己相继占据同一相对位置，这两个对象给我们造成的印象将迥然不同；如果我们把它们定域在同一点，这只不过是因为，必须做出相同的动作才能达到它们；除此之外，人们不能直接看到它们会有共同之处。
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但是，在给定一个对象后，我们能够设想同样使我们到达它的许多不同的动作系列。此时，如果我们通过想象使我们达到这一点的动作所伴随的肌肉感觉系列来想象一个点，那么将存在想象同一点的许多完全不同的方式。倘若人们不满意这个解决办法，例如希望除肌肉感觉而外，再引入视觉，这便多了一两个想象这同一点的方式，只不过增大了困难而已。在任何情况下，都要提出下述问题：我们为什么认为，如此相互不同的表示还能描述同一点？
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另外尚需注意，我刚才说过，我们自然而然地使外部对象参照于我们自己的身体；我们携带着作为空间所有点的参照物的坐标系处处与我们一起移动，这个坐标系好像与我们的身体恒定地联系在一起。我们应该注意，严格地讲，我们不能说与我们的身体恒定地结合的坐标系，除非我们身体各个部分本身相互之间恒定地结合。由于情况并非如此，所以在把这些虚构的坐标系作为外部对象的参照物之前，我们应当假定我们身体恢复到原来的姿势。
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5.位移的概念
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在《科学与假设》中，我已经表明，我们身体的动作在空间概念的起源中起了举足轻重的作用。对于完全不能动的生物而言，既不会有空间，也不会有几何学；外部对象在它周围徒然地移动着，这些位移在他的印象中所引起的变化不会被这种生物归咎于位置的变化，而只会归咎于状态的变化；这种生物无法把这两种变化区别开来，这种区别对我们来说是根本的，而对它则没有意义。
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我们迫使我们身体器官所做的动作作为一种作用，招致外部对象在我们感官上产生的印象发生变化；其他原因同样可以使印象变化；但是，我们被引导区分我们自己的运动所产生的变化，我们由于两个理由容易分辨它们：（1）因为它们是随意的；（2）因为它们被肌肉感觉所伴随。
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这样看来，我们自然而然地把我们的印象可能经受的变化分为两个范畴，我也许给它们取的是不恰当的名称：（1）内部变化，这种变化是随意的，被肌肉感觉所伴随；（2）外部变化，它具有相反的特征。
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于是我们看到，在外部变化中，有一些能够被矫正，因为内部变化使一切恢复到原来的状态；另一些则不能用这种方式矫正（情况是这样：当外部对象被移动时，这时我们可以通过改变我们自己的位置，相对于这个对象恢复到与以前相同的相对位置，以便建立原先的印象集合；如果这个对象没有被移动，但是它的状态变化了，那是不可能的）。由此在外部变化中出现了新的区分：能够被这样矫正的外部变化，我们称之为位置变化；其余的称之为状态变化。
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例如，设想一个一半为蓝、另一半为红的球；首先，它的蓝半球呈现在我们面前，接着这样旋转，使它的红半球呈现在我们面前。现在，设想一个盛蓝色液体的球形瓶，它由于化学作用而变成红色。在两种情况下，红色的感觉代替了蓝色的感觉；我们的感官经历了相同的印象，这些印象按同一顺序相互发生，可是我们却认为这两个变化大相径庭；第一个是位移变化，第二个是状态变化。为什么呢？因为在第一种情况下，对我来说，只要转动球，就足以使蓝半球对着我，重建原来的蓝色感觉。
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还有更多的东西；如果两半球不是红色和蓝色，而是黄色和绿色，我们应当怎样解释球的翻转呢？刚才，红色接着蓝色发生，现在是绿色接着黄色发生；然而，我却说两个球经受了相同的翻转，每一个都绕着它的轴转动；可是我不能说，绿和黄的关系与红和蓝的关系是一样的；那么，我是怎样被导致判定两个球经历了相同的位移呢？显然因为，在一种情况像在另一种情况一样，我都能通过转动球做同样的动作，重建原来的感觉，而且我知道，我做了相同的动作，因为我感知到相同的肌肉感觉；因此，要了解它，我不需要预先知道几何学，不需要想象我的身体在几何学空间中的动作。
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另一个例子是：一个对象在我眼前移动；它的图像开始在视网膜的中央形成；接着在视网膜的边缘形成；过去的感觉通过终止于视网膜中央的一个神经纤维传达给我；新出现的感觉通过起始于视网膜边缘的另一个神经纤维传达给我；这两个感觉在质上不同；要不然，我怎么能够区分它们呢？
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