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我们这些还不通晓几何学的人不能用这种方式推理；我们只能够证实。但是，接着产生了一个问题；在通晓几何学之前，我们怎么可以把手指在那里未尝轻微移动的系列σ与其他系列区分开来呢？事实上，只有在做出这种区分后，我们才能认为∑和∑+σ是等价的，而且正如我们刚才看到的，惟有在这一条件的基础上，我们才能够得到三维空间。
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我们之所以有可能区分系列σ，因为常常发生这样的情况：当我们进行对应于这些肌肉感觉系列σ的动作时，通过我们称之为第一个手指的神经传送给我们的触觉存留着，不因这些动作而变化。惟有经验告诉我们这一点，而且惟有经验才能够告诉我们这一点。
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如果我们区分了由两个相反系列的结合形成的肌肉感觉系列S+S＇，那正是因为它们保持着我们印象的总数；如果我现在区分系列σ，那正是因为它们使我们的印象保持一定。（当我说，肌肉感觉系列S“保持着”我们一个印象A时，我意指我们要弄清楚，我们是否感觉到印象A，接着是否感觉到肌肉感觉S，我们是否还感觉到在这些感觉S之后的印象A。）
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我在上面说过，往往发生系列σ不改变我们的第一个手指感觉到的触觉印象的情况；我经常这样说，但并非总是这样说。我们用日常语言表达的下述说法正是这一点：在与手指接触的对象A也不运动的条件下，如果这个手指不运动，那么触觉印象便不会改变。在通晓几何学之前，我无法做出这种说明；我能做的一切就是弄清楚，这个印象经常存留着，但并非总是存留着。
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然而，经常继续的印象足以使系列σ显著地呈现在我们面前，导致我们把系列∑和∑+σ归入同一类，因此不能认为它们是截然不同的。在这些条件下，我们看到，它们将产生三维的物理连续统。
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接着看看我的第一个手指产生的三维空间。我的每一个手指将产生与之类似的空间。依然要考虑，我们怎么被导致认为它们与视觉空间、与几何学空间等价。
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但是，在进一步论述之前有一个考虑；照前所述，只是通过肌肉感觉系列向我们揭示出把我们从某一初始位置带到这个最终位置的动作，我们知道空间的点，或者更一般地说，知道我们身体的最终位置。然而，很清楚，这个最终位置一方面将取决于这些动作，另一方面将取决于我们出发的初始位置。现在，这些动作被我们的肌肉感觉揭示给我们；可是没有什么东西告诉我们初始位置；我们没有任何办法能够把它与所有其他可能的位置区分开来。显然，这十分明确地提出了空间的本质的相对性。
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4.各种空间的等价
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因此，我们有可能把两个连续统C和C＇加以比较，例如，一个是由我的第一个手指D产生的，另一个是由我的第二个手指D＇产生的。这两个物理连续统均有三维。把我从某一初始位置带到某一最终位置[1]的肌肉感觉系列对应于连续统C的每一个元素，或者如果你乐意的话，也可以说对应于第一触觉空间的每一点。而且，如果σ是我们知道的不使手指D运动的系列，那么第一触觉空间的同一点将对应于∑和∑+σ。
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类似地，感觉系列∑＇对应于连续统C＇的每一个元素，或对应于第二触觉空间的每一点；如果σ＇是不使手指D＇运动的系列，那么同一点将对应于∑＇和∑＇+σ＇。
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使我们把标记为σ的各种系列与称之为σ＇的各种系列区别开来的方法是，前者不改变手指D感觉到的触觉印象，后者保持手指D＇感觉到的触觉印象。
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现在看看我们查明什么：在开始，我的手指D＇感知到感觉A＇；我做出产生肌肉感觉S的动作；我的手指D感觉到印象A；我做出产生感觉系列σ的动作；我的手指D继续感知到印象A，因为这是系列σ的独特的性质；我然后作出产生肌肉感觉系列S＇的动作，S＇在上面给予这个代码的意义上与S相反。于是我确定，我的手指D＇重新感觉到印象A＇。（当然，这要理解为适当地选择S。）
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这意味着，保持手指D＇的触觉印象的系列S+σ+S＇是我称之为σ＇的系列中的一个。相反地，如果人们采取任何系列σ＇，那么S＇+σ＇+S将是我称之为σ的系列中的一个。
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从而，若适当地选择S，则S+σ+S＇将是系列σ＇，使σ以所有可能的方式变化，我们将得到所有可能的系列σ＇。
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由于我们还不通晓几何学，我们仅使自己局限于证实那一切，但是在这里，问题在于通晓几何学的人应该怎样说明事实。在开始，我的手指D＇在点M与对象α接触，这使手指感觉到印象A＇。我做出对应于系列S的动作；我说过，这个系列应该适当地选择，我愿如此做这一选择，以便这些动作把手指D带到手指D＇原来所占据的点，也就是说带到点M；这个手指D从而将与对象α接触，这将使手指感觉到印象A。
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接着，我做出对应于系列σ的动作；在这些动作中，根据假设，手指D的位置没有改变，这个手指因而依然与对象α接触，并继续感觉到印象A。最后，我做出对应于系列S＇的动作。由于S＇与S相反，这些动作把手指D＇带到手指D原先所占据的点，即带到点M。正如可以假定的那样，若对象α不轻微移动，这个手指D＇将与这个对象接触，并将重新感觉到印象A＇……证毕。
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让我们看看结果吧。我考虑一个肌肉感觉系列∑。第一触觉空间的一个点将对应于这个系列。现在，再选取我刚才谈到的彼此相反的两个系列S和S＇。第二触觉空间的一点N将对应于系列S+∑+S＇，因为正如我们说过的，在第一空间或第二空间的点对应于任何肌肉感觉系列。
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我将考虑如此定义的两个点N和M，它们可以视为对应的。什么东西授权我这样做呢？要使这个对应是可以接受的，其必要条件是，如果在第一空间对应于两个系列∑和∑＇的两点M和M＇是等价的，第二个空间的两个对应点N和N＇同样也是如此，那么正是这两点对应于两个系列S+∑+S＇和S+∑＇+S＇。现在，我们要看看，这个定义被满足。
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第一个评论。因为S和S＇是彼此相反的，我们便有S+S＇= 0，从而S+S＇+∑=∑+S+S＇=∑，或者还有∑+S+S＇+∑＇=∑+∑＇；但是，由此不能得出我们有S+∑+S＇=∑的结论；这是因为，尽管我们用加号表示我们感觉的相继发生，可是很清楚，这个相继发生的次序并非没有差别：因此，我们不能像在通常加法中那样颠倒各项的次序；简而言之，我们的运算是结合的，而不是交换的。
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这样确定之后，为了∑和∑＇可以对应于第一空间的同一点M=M＇，其充要条件是我们有∑＇=∑+σ。于是我们将有S+∑＇+S＇=S+∑+σ+S＇=S+∑+S＇+S+σ+S＇。
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可是，我们刚刚确定，S+σ+S＇是系列σ＇中的一个。从而我们将有S+∑＇+S＇=S+∑+S＇+σ＇，这意味着系列S+∑＇+S＇和S+∑+S＇对应于第二空间的同一点N=N＇。证毕。
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因此，我们的两个空间点对点对应；它们能够相互“变换”；它们是同构的。我们如何被引导得出它们是等价的结论呢？
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考虑两个系列σ和S+σ+S＇=σ＇。我经常说，但并非总是说，系列σ保持着手指D感知到的触觉印象A；同样地，经常但并非总是发生这种情况，系列σ＇保持着手指D＇感知到的触觉印象A＇。现在我确定，十分经常地（也就是说，比我刚才所说的“经常”更为经常）发生下述情况：当系列σ保持手指D的印象A时，系列σ＇同时保持手指D＇的印象A＇；相反地，如果第一个印象改变了，则第二个印象也同样改变。这十分经常地发生着，但并非总是发生。
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我们用下述说法诠释这个实验事实：把印象A给予手指D的未知对象α是与把印象A＇给予手指D＇的未知对象α＇等价的。实际上，当第一个对象运动——这是印象A的消失告诉我们的——时，第二个对象也同样运动，由于印象A＇同样也消失。当第一个对象依然不动时，第二个对象也依然不动。倘若这两个对象等价，当第一个对象在第一个空间的M点，第二个对象在第二个空间的N点时，那么这两点也等价。这就是我们如何被导致认为这两个空间是等价的；或者更恰当地讲，这就是当我们说它们是等价的时候，我们意指的东西。
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我们刚才就两个触觉空间的等价所说的一切，使得讨论触觉空间和视觉空间等价的问题变得毫无必要，该问题能够用同样的方式去处理。
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