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这就是物理学家应该期望解析所做的帮助；但是要使这门科学能够向他们提供帮助，就必须以最广泛的方式培育它，而不能立即期待效用——数学家必须像艺术家那样去工作。
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我们要求数学家帮助我们在我们面前敞开的迷宫中辨认、识别我们的道路。现在，数学家站得最高，看得最远。例子不胜枚举，我仅限于举最有名的。
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第一个例子将向我们表明，改变语言如何足以揭示先前意想不到的概括。
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当牛顿定律代替开普勒定律时，我们还只是知道椭圆运动。现在，就这一运动而论，两个定律仅仅在形式上不同；我们运用简单的微分法就可把一个定律变为另一个定律。可是，从牛顿定律出发，通过直接概括，就可以推导出摄动的所有结果和整个天体力学。另一方面，如果固守开普勒的表述，永远也不会有人把摄动行星的轨道看做是椭圆的自然概括，因为这些轨道是很复杂的曲线，从来也没有人写出曲线的方程。观察的进步只会有助于制造对混沌的信仰。
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第二个例子同样值得考虑。
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当麦克斯韦（Maxwell）开始他的研究时，被公认的电动力学定律直到他所处的时代能说明所有已知事实。得以使它们无效的不是新实验。然而，麦克斯韦独具慧眼，他在考察它们时看到，电动力学方程只要附加一项，就变得比较对称，而且这一项极为微小，与旧方法相比，它不会产生可觉察的影响。
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你知道，麦克斯韦的先验观点等了20年才得到实验证实；或者，你如果乐意的话也可以说，麦克斯韦早在实验之前20年就有先见之明。这一成就是怎样获得的呢？
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这是因为麦克斯韦深深地沉浸在数学对称性的感觉之中；如果其他人在他之前没有为对称性本身之美而研究对称性，他能够大功告成吗？
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正因为麦克斯韦习惯“用矢量思考”，可是矢量引入解析却是通过虚数理论。发明虚数的人几乎没有猜想到为研究实在世界能从虚数得到什么好处，他们给虚数取的名字（imaginaries，neomonics）就是充足的证据。
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简而言之，麦克斯韦恐怕不是一位能干的解析家，不过这种能力对他来说可能只是无用的、讨厌的思想包袱。相反地，他在最大程度上具有数学类比的内在感觉。正是因此，他在数学物理学上成就卓著。
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麦克斯韦的例子还告诉我们另外的事情。
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应该如何看待数学物理学的方程呢？我们可以只推导一切结果并把它们视为不可捉摸的实在吗？远非如此；它们尤其应当告诉我们，能够改变什么，应该改变什么。只有这样，我们才能由它们得到某些有用的东西。
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第三个例子向我们表明，我们如何可以察觉在物理学上既无表观关系，亦无真实关系的现象之间的数学类似，结果这些现象之一的规律有助于我们推测另一个现象的规律。
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十分相同的方程，如拉普拉斯（Laplace）方程，在牛顿引力理论、液体运动理论、电势理论、磁理论、热传播理论以及其他许多理论中都遇到了。其结果是什么呢？这些理论似乎是相互复制出来的图画；它们相得益彰，彼此借用语言；试问一下电学家，由于受到流体动力学和热理论的启发，他们发明了力线通量（flux de force）这个术语，他们是否为他们的发明自我庆幸。
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从而，数学类比不仅可以使我们预见物理类比，而且当物理类比不起作用时，数学类比也就不再是有用了。
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总之，数学物理学的目的不仅仅便于物理学家进行某些常数的数值计算或某些微分方程的积分。此外，它尤其能使物理学家揭示出事物的隐藏的和谐，使其以新的方式看待事物。
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在解析的所有部分中，可以说，提得最高的、最纯粹的部分在那些知道如何利用它们的人的手中将是最富有成果的部分。
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Ⅲ
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现在让我们看看，解析把什么归功于物理学。
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想不到了解自然的欲望在数学发展上具有最持久和最幸运的影响，就必然会完全忘却科学的历史。
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首先，物理学家向我们提出问题，期望我们解决它们。可是，在向我们提出问题时，物理学家为此服务预付了大量报酬，如果我们解决了问题，我们便报答了他。
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如果我可以被容许继续与优秀的艺术家比较的话，那么忘记外部世界存在的纯粹数学家也许就像这样一个画家：他知道如何把色和形和谐地组合起来，但却缺乏模特儿。他的创造力不久便会枯竭。
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数字和符号可以形成的组合无限多。在这么多的组合中，我们将怎样选择那些值得引起我们注意的组合呢？我们将听任我们自己仅仅受到任性的指导吗？而且，这种任性本身不胜其烦，无疑会使我们有别天壤，我们很快就会互不理解。
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然而，这只是该问题无关紧要的一面。毫无疑问，物理学将无疑防止我们彷徨歧路，而且也将保护我们免除令人可畏的危险；它将防止我们在同一个圈子里不停地团团转。
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历史证明，物理学不仅促使我们在挤成一堆的问题中做出选择；而且它也迫使我们研究那些若无它我们永远也梦想不到的问题。不管怎样，虽然人的想象可以变化，但是自然的变化更加丰富多彩。为了追求它，我们必须选取被我们忽视的道路，这些路线往往能把我们引向绝顶，我们从那里将会发现新的疆域。物理学多么有用啊！
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