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然而，这只是该问题无关紧要的一面。毫无疑问，物理学将无疑防止我们彷徨歧路，而且也将保护我们免除令人可畏的危险；它将防止我们在同一个圈子里不停地团团转。
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历史证明，物理学不仅促使我们在挤成一堆的问题中做出选择；而且它也迫使我们研究那些若无它我们永远也梦想不到的问题。不管怎样，虽然人的想象可以变化，但是自然的变化更加丰富多彩。为了追求它，我们必须选取被我们忽视的道路，这些路线往往能把我们引向绝顶，我们从那里将会发现新的疆域。物理学多么有用啊！
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运用数学符号就像运用物理实在一样；正是在比较事物的不同方面的过程中，我们能够领悟它们的内部和谐，惟有这种内部和谐才是美的，从而值得我们努力追求。
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我要引证的第一个例子太古老了，我们自然而然地忘掉它；不过，它却是最重要的。
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数学思维的惟一天然对象是整数。正是外部世界把连续统给予我们，我们无疑发明了连续统，但却是外部世界强使我们发明的。没有连续统，就不会有微积分；整个数学科学本身便会降级为算术或置换理论。
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相反地，我们几乎把我们的所有时间和我们的全部精力投入连续统的研究。谁会为此而懊悔不已呢；谁会认为这些时间和精力付之东流呢？解析在我们面前展现了算术从未预料到的无限的视野；它让我们一览宏伟的集合物，这些集合物的排列是简单的和对称的；反之，在数论中盛行的是没有预见性的东西，也可以说视野在每一步都要受到阻挡。
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毫无疑问，有人会说，在整数之外没有严格性，从而没有数学真理；整数到处隐藏着，我们必须全力揭掉掩盖它的透明屏幕，即便这样做我们必须顺从没完没了的反复。但愿我们不是这样的语言纯正癖，让我们感谢连续统吧，纵令一切都出自整数，可是惟有连续统才能够创造出从那里出发的如此之多的东西。
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埃尔米特先生把连续变量引入数论，获得了令人惊叹的成果，我还需要回忆这件事吗？于是，整数独有的领域被侵犯，这一侵犯在无序统治的地方建立起有序。
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看看我们归功于连续统，从而归功于物理自然的东西吧。
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傅里叶（Fourier）级数是分析不断使用的精密工具，正是用这种手段，才能描述非连续函数；为了解决与热传播有关的物理学问题，傅里叶发明了它。当然，如果这个问题未被提出，我们也许永远也不敢赋予非连续性以权利；我们还会长期地把连续函数视为惟一真实的函数。
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函数概念由此被显著地推广了，并经一些逻辑解析家之手获得了意想不到的发展。这些解析家便这样冒险闯入最纯粹的抽象统治的领域，并且尽可能地远离了实在的世界。然而，正是物理学问题，给他们提供了机会。
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继傅里叶级数之后，其他类似的级数也进入解析领域；它们是通过同一大门而进入的；它们是考虑到应用而被设想出来的。
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二阶偏微分方程理论有类似的历史。它主要是借助物理学和为了物理学而得以发展的。然而，它可以采取许多形式，因为这样的方程不足以确定未知函数，必须使称之为极值条件的互补条件与之毗连；由此产生了许多不同的问题。
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假如解析家沉湎于他们的自然倾向，那么他们永远也不知道除一之外的东西，科瓦列夫斯基夫人在她的著名论文中处理了这个问题。可是，还有他们可能会忽视的其他许多东西。物理学、电、热的每一个理论都在新的样式下向我们呈现这些方程。因此，可以说，没有这些理论，我们便不会知道偏微分方程。
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不需要添加例子了。我足以能够得出结论：当物理学家请求我们解决问题时，这不是他们强加在我们身上的麻烦和责任，相反地，我们应该感谢他们的功劳。
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Ⅳ
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可是，问题并未到此为止；物理学不仅给我们提供解决问题的机会；而且它帮助我们找到解决问题的方法，为此有两种途径。它使我们预见答案；它以论据启迪我们。
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我已在上面谈过拉普拉斯方程，在许多歧异的物理学理论中都会遇到它。在几何学中，在保角表示理论和纯粹解析中，在虚数理论中也可以再次发现它。
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在这方面，在研究复变函数时，解析家发现许多物理图像，像他作为通常工具的几何学图像一样，他可以同样成功地使用这些物理图像。多亏这些图像，他才能对只会相继向他显示出来的纯粹演绎一目了然。这样，他把解的孤立成分聚集起来，在能够证明之前，他凭借直觉进行推测。
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在证明之前推测！我需要回忆那些如此做出的所有重要发现吗？物理类比容许我们提出的、我们用严格推理难以确立的真理何其之多！
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例如，数学物理学采用大量的级数展开。没有人怀疑这些展开收敛；但是缺乏数学确实性。对于将继我们之后而来的研究者而言，可以确信这些展开会被如此之多地征服。
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另一方面，物理学不仅向我们提供解答；另外，它也在某种程度上向我们提供论据。这将足以使我回想起，在关于黎曼曲面的问题中，弗莱克斯·克莱因如何求助于电流的特性。
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的确，在解析家加在这个词的意义上，这种类型的论据是不严格的。在这里，产生了一个问题：对于解析家来说并不充分严格的证明对物理学家来说怎么能够满足需要呢？看起来，不可能有两种严格，要么严格，要么不严格，而且在没有严格性的地方也不会有演绎。
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通过回忆在什么条件下把数应用于自然现象，这个表观的悖论将会得到更好的理解。一般说来，在寻求严格性中所遇到的困难从何而来呢？在试图确定某个量趋于某一极限或某个函数是连续的或它具有导数的过程中，我们几乎总是要碰到困难。
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现在，众所周知，物理学家用实验量度的数只能是近似的；而且，任何函数与你从非连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别，同时与你从连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别。因此，物理学家可以随意假定，所研究的函数是连续的或者是不连续的；它有导数或者没有导数；他们可以这样做，既不怕与目前的实验发生矛盾，也不怕与任何未来的实验发生矛盾。我们看到，由于这种自由，他嘲弄了把解析家难倒的困难。他总是可以推理，犹如在他的计算中所出现的所有函数是整多项式一样。
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