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函数概念由此被显著地推广了，并经一些逻辑解析家之手获得了意想不到的发展。这些解析家便这样冒险闯入最纯粹的抽象统治的领域，并且尽可能地远离了实在的世界。然而，正是物理学问题，给他们提供了机会。
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继傅里叶级数之后，其他类似的级数也进入解析领域；它们是通过同一大门而进入的；它们是考虑到应用而被设想出来的。
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二阶偏微分方程理论有类似的历史。它主要是借助物理学和为了物理学而得以发展的。然而，它可以采取许多形式，因为这样的方程不足以确定未知函数，必须使称之为极值条件的互补条件与之毗连；由此产生了许多不同的问题。
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假如解析家沉湎于他们的自然倾向，那么他们永远也不知道除一之外的东西，科瓦列夫斯基夫人在她的著名论文中处理了这个问题。可是，还有他们可能会忽视的其他许多东西。物理学、电、热的每一个理论都在新的样式下向我们呈现这些方程。因此，可以说，没有这些理论，我们便不会知道偏微分方程。
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不需要添加例子了。我足以能够得出结论：当物理学家请求我们解决问题时，这不是他们强加在我们身上的麻烦和责任，相反地，我们应该感谢他们的功劳。
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Ⅳ
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可是，问题并未到此为止；物理学不仅给我们提供解决问题的机会；而且它帮助我们找到解决问题的方法，为此有两种途径。它使我们预见答案；它以论据启迪我们。
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我已在上面谈过拉普拉斯方程，在许多歧异的物理学理论中都会遇到它。在几何学中，在保角表示理论和纯粹解析中，在虚数理论中也可以再次发现它。
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在这方面，在研究复变函数时，解析家发现许多物理图像，像他作为通常工具的几何学图像一样，他可以同样成功地使用这些物理图像。多亏这些图像，他才能对只会相继向他显示出来的纯粹演绎一目了然。这样，他把解的孤立成分聚集起来，在能够证明之前，他凭借直觉进行推测。
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在证明之前推测！我需要回忆那些如此做出的所有重要发现吗？物理类比容许我们提出的、我们用严格推理难以确立的真理何其之多！
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例如，数学物理学采用大量的级数展开。没有人怀疑这些展开收敛；但是缺乏数学确实性。对于将继我们之后而来的研究者而言，可以确信这些展开会被如此之多地征服。
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另一方面，物理学不仅向我们提供解答；另外，它也在某种程度上向我们提供论据。这将足以使我回想起，在关于黎曼曲面的问题中，弗莱克斯·克莱因如何求助于电流的特性。
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的确，在解析家加在这个词的意义上，这种类型的论据是不严格的。在这里，产生了一个问题：对于解析家来说并不充分严格的证明对物理学家来说怎么能够满足需要呢？看起来，不可能有两种严格，要么严格，要么不严格，而且在没有严格性的地方也不会有演绎。
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通过回忆在什么条件下把数应用于自然现象，这个表观的悖论将会得到更好的理解。一般说来，在寻求严格性中所遇到的困难从何而来呢？在试图确定某个量趋于某一极限或某个函数是连续的或它具有导数的过程中，我们几乎总是要碰到困难。
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现在，众所周知，物理学家用实验量度的数只能是近似的；而且，任何函数与你从非连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别，同时与你从连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别。因此，物理学家可以随意假定，所研究的函数是连续的或者是不连续的；它有导数或者没有导数；他们可以这样做，既不怕与目前的实验发生矛盾，也不怕与任何未来的实验发生矛盾。我们看到，由于这种自由，他嘲弄了把解析家难倒的困难。他总是可以推理，犹如在他的计算中所出现的所有函数是整多项式一样。
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这样一来，使物理学家感到满足的概略并不是解析家所要求的演绎。但是，不能由此得出结论说，一个在发现中不能帮助另一个。如此之多的物理学概略已经转化为严格的证明，以至这种证明在今天是很容易的。还有许多例子，我岂不担心过多地引证它们会使读者厌倦。
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我希望我所说的东西足以表明，纯粹解析和数学物理学可以相互服务，而不会彼此做出任何牺牲，这两门科学中的每一个都应当为提升它的联合的一切做法而欢欣鼓舞。
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科学的价值 第六章 天文学
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政府和议会必然感到，天文学是一门耗资庞大的科学：最小的仪器动辄花费数十万元，最小的天文台其费用以百万元计；每次日食、月食，还要给予临时拨款。这一切为的都是遥远的星球，它们对我们的竞选全然无知，多半将永远也不参加选举。情况必然是，我们的政治家保留着理想主义的残余。他们对什么是宏伟的东西还保留着模糊的本能；确实，我认为他们受到中伤；他们应该受到鼓励，应该证明这种本能没有欺骗他们，他们也不是容易受那种理想主义愚弄的人。
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的确，我应该向他们谈谈导航，没有人会低估导航的重要性，而导航需要天文学。但是，这也许只领会到问题次要的一面。
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天文学之所以是有用的，因为它能使我们超然自立于我们自身之上；它之所以有用，因为它是宏伟的；这就是我应该说的。天文学向我们表明，人的躯体是何等渺小，人的心智是何等伟大，因为人的理智能够包容星辰灿烂、茫无际涯的宇宙，并且享受到它的无声的和谐，人的躯体在它那里只不过是沧海一粟而已。这样一来，我们意识到我们的能力，这是一种花费再多也不算过分的事业，因为这种意识使我们更加强大非凡。
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但是，我希望首先表明的是，由于天文学把能够领悟自然的心灵给予我们，它在多大程度上促进了比较直接有用的其他学科的工作。
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想一想，假使人类处于阴云始终密布的天空之下，就像处于木星上那样，从来也不知道有其他星球，人类的声誉便会一落千丈。你想过没有，在这样一个世界上，我们会是现在这种样子吗？我清楚地知道，在这个昏暗的苍穹之下，我们被剥夺了像生息在地球上的生物体所必需的阳光。可是，如果你乐意的话，我们可以假定，这些阴云是发磷光的，放射出柔和的和持续的光。由于我们正在做假设，我们不再会失去另外的东西。好了！我重复我的问题：你想过没有，在这样一个世界上，我们会是我们现在这种样子吗？
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