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那么，该如何预测债券未来的价格呢？费希尔、比尔和我都是实用主义者。我们是为交易员构建模型的，因此我们希望这个模型要简单、一致，能够合理地反映现实。简单意味着一个随机因子就能推导出所有变化。一致意味着模型得到的所有债券理论值要与其当前市场价格相符，如果它最终得到了错误的债券价格，那么利用它来对基于债券的期权定价就是毫无意义的。反映现实就意味着模型所得到的未来收益率曲线的变化区域，应该与那些现实中的收益率曲线变化相似。
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当物理学家开发模型时，他们首先会求助于一个关于世界的模型，这个模型上空间和时间都是不连续的，只存在于一个网格里的点上，这就使得利用数学进行描述更容易了。我们利用相同的思路开发我们的模型。我们首先设想了一个世界，在这个世界中最短期的投资只能持续一年，并且由一年期国库券利率来表示。那么长期的利率则反映市场对未来短期（也就是一年）利率未来变化的可能范围的判断。
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顺着这一思路，我们开发了一个关于未来一年期利率的简单模型，类似于图10-1中股票价格分布的离散版本。如图10-4所示，最初的一年期利率可以从当前收益率曲线中得到。当你越往将来看去，利率变化的可能值会逐渐落在更广泛的范围内。
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图10-4 布莱克-德曼-托伊模型关注于未来短期利率的分布
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这里每个点对应于一个未来一年期利率的特定取值。过去的时间越多，未来利率的不确定性就越大。
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为了完成我们的模型，我们现在必须决定未来任何一年的时点上，一年期利率的取值范围。在我们的模型中，核心的原则是将长期债券视为连续短期债券投资的组合。从这个角度出发，两年期利率来自于连续两次一年期投资，第一次是一个已知利率，第二次是一个未知利率。市场今天对于一个两年期债券利率给出的定价取决于市场如何判断一年后一年期利率是如何变化的。因此，你就可以利用当前一年期收益率和一年后一年期利率的分布计算出当前两年期债券收益率。同样地，你也可以利用一年后一年期利率的分布计算出当前两年期收益率的波动率或不确定性。相反地，倒推回来就是，由于当前市场上两年期收益率及其波动率是已知的，那么你就能推导出一年后一年期利率的分布，如图10-5所示。
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图 10-5
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在布莱克-德曼-托伊模型中，未来一年期利率的分布是从当期收益率曲线推导出来的。两年到期收益率决定了一年后的一年期利率的分布，三年到期收益率决定了两年后的一年期利率，以此类推。
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利用相同的方法，基于当前一年期利率、已知的一年后一年期利率分布（从当前市场上两年期收益率推导得到）、两年后一年期利率分布，就能得到当前三年期收益率。但由于当前市场上三年期收益率是已知的，你就可以利用它推导出两年后的一年期利率分布。继续利用这一方法，你就能够利用任意时点的当前收益率曲线来确定所有未来一年期利率的变化范围，如图10-5所示。
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这是我们模型的精华所在。当比尔和我将其编程后，它似乎是有效的——我们可以根据当前收益率曲线和它的波动率得到市场对于未来一年利率分布的预期。我们以一年期为时间间隔开始研究，这一点倒不是神圣而不可改变的。只要模型可行，我们可以在网格中利用月、周，甚至在某些时候用天为时间单位进行研究，从当期收益率曲线中确定市场对于未来时点的短期利率分布的观点。一个典型的网格（我们称它为“树”，因为初始的利率分叉出来，逐渐扩张成树枝状）具有相同短期时间距离的、成百上千的节点，如图10-6所示。
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图10-6 布莱克-德曼-托伊模型中多期短期利率树形图图示
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图中每个时间间隔相同，可以扩展到多年。
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我们的目的是将模型设计得简单并一致，它做到了——我们可以将所有当前债券价格与网状树匹配。接下来，我们就可以利用校准后的网状树来对任何证券进行定价，只要证券的未来支付取决于利率，而利率我们可以通过对分布上的不同支付取平均的方法得到。特别是，我们能对基于任何期限债券的、任何到期时间的期权进行定价了。
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新模型最吸引人的地方在于它满足一价定律。我们的网状树工作起来就像是一台计算机，通过对证券未来支付求平均，就能得到这只证券的当前价值。你可以将未来支付放在树梢，旋动这台机器的手柄开始计算，对它们求平均并在利率分布区间上对它们进行贴现，最终得到当前市场价格。这台机器并不在于你给产生未来收益的证券取什么名字——债券、期权，随便你管它叫什么名字都行。只要未来支付是相等的，机器计算出来的结果就是相同的。
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到1986年年底，我进入高盛工作还不到一年，我们就已经完成了这个模型的绝大部分，运行程序的速度还算可以。接下来我们就开始在实际的期权交易中测试它了，对比我们的模型计算结果和拉维的模型计算结果有何不同。我们公司交易员的直觉都是由旧模型训练出来的，很显然他们对于变换模型持保留态度——在你发现一件新东西跟你原来一直使用的东西可以结合得很好之前，就开始使用它确实是不明智的。在你开始依赖某个模型之前，你需要对这个模型找找感觉。因此，很多金融策略部门的销售助理开始测试新模型，慢慢说服自己新模型符合一价定律。这一结论理论上对于我们来说是显而易见的，但从实践上对他们来说却尚不确定。
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我对于我们完成的工作非常兴奋。我在内心深处仍然是个物理学家，而且在金融建模方面也缺乏经验。但我已经开始把我们开发的模型当成一个宏伟的关于利率的统一理论，并想象着我们可以利用它对世界上所有与利率相关的证券进行定价。
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然而，费希尔并不喜欢这样来看我们的模型。他更加务实且更加经验丰富，他知道我们的模型仍没有考虑到其他一些金融因素。似乎对他而言更可能的说法是，这个模型在某个分支里可能是好的（如果这个模型确实是好的话），比如说仅仅是基于国债的债券期权，但并不适用于可赎回债券、资本扩张优先证券（caps，capital augmented preferred securities）或其他类似期权的固定收益金融工具。他将我们开发的模型称为“好像”（as if）模型，他的意思是，我们假设在债券市场中，投资者的行为“好像”只取决于短期利率。
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尽管我渴望做些宏大的事情，但我也开始意识到我们的模型究竟是怎样的一个模型了：这是一个简单的、基于现象得出的模型，就像物理学家利用的一个模拟物体，它很有用但也仅仅是一个玩具。我们可以尝试使用但应该谨慎对待，要继续尝试对这个模型进行拓展，看它到底能有多大用处。我们曾假设市场只考虑一个因素，那就是短期利率，并认为所有的长期利率都反映了市场对未来短期利率及其波动率的看法。这是真实的吗？当然不是！世界是难以名状的、复杂的。但我们所做的是一个很好的起点，利用它我们可以捕捉到长期和短期利率间合理的联系。我们的模型可能没能描述这个真实的世界，但它描述的是一个可能存在的真实世界，是众多世界中的一个，这就使它的价值非比寻常。
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费希尔希望我们正在写的论文要清晰、准确，但又不能过于数学化。在接下来的一年里，我写了很多份草稿，交给费希尔阅读后，他给出评语后又退还给我。在他的打字员贝弗莉的帮助下，这篇文章逐渐变短。在我以前作为物理学家的日子里，我曾是一个不拘小节的作者，对于文章修改很不耐烦。撰写草稿的一年，让我领略到了定性但又准确表达概念的重要性与快乐。从那以后，我更愿意注重细节，并努力把这些细节表达得更加清楚些。
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我们的文章《利率单因子模型及其在国债期权上的应用》（A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options）最终发表于1990年的《金融分析家杂志》（Financial Analysts Journal）上。此时，距离我们开始开发这个模型已经四年了。令我很高兴也很惊讶的是，这个模型被广泛接受并迅速以我们名字的缩写形式布莱克-德曼-托伊为模型命名。很遗憾我们没有早点把文章发表，但费希尔是一个完美主义者，在他完全满意之前他不愿意将其发表。
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