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我对于我们完成的工作非常兴奋。我在内心深处仍然是个物理学家，而且在金融建模方面也缺乏经验。但我已经开始把我们开发的模型当成一个宏伟的关于利率的统一理论，并想象着我们可以利用它对世界上所有与利率相关的证券进行定价。
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然而，费希尔并不喜欢这样来看我们的模型。他更加务实且更加经验丰富，他知道我们的模型仍没有考虑到其他一些金融因素。似乎对他而言更可能的说法是，这个模型在某个分支里可能是好的（如果这个模型确实是好的话），比如说仅仅是基于国债的债券期权，但并不适用于可赎回债券、资本扩张优先证券（caps，capital augmented preferred securities）或其他类似期权的固定收益金融工具。他将我们开发的模型称为“好像”（as if）模型，他的意思是，我们假设在债券市场中，投资者的行为“好像”只取决于短期利率。
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尽管我渴望做些宏大的事情，但我也开始意识到我们的模型究竟是怎样的一个模型了：这是一个简单的、基于现象得出的模型，就像物理学家利用的一个模拟物体，它很有用但也仅仅是一个玩具。我们可以尝试使用但应该谨慎对待，要继续尝试对这个模型进行拓展，看它到底能有多大用处。我们曾假设市场只考虑一个因素，那就是短期利率，并认为所有的长期利率都反映了市场对未来短期利率及其波动率的看法。这是真实的吗？当然不是！世界是难以名状的、复杂的。但我们所做的是一个很好的起点，利用它我们可以捕捉到长期和短期利率间合理的联系。我们的模型可能没能描述这个真实的世界，但它描述的是一个可能存在的真实世界，是众多世界中的一个，这就使它的价值非比寻常。
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费希尔希望我们正在写的论文要清晰、准确，但又不能过于数学化。在接下来的一年里，我写了很多份草稿，交给费希尔阅读后，他给出评语后又退还给我。在他的打字员贝弗莉的帮助下，这篇文章逐渐变短。在我以前作为物理学家的日子里，我曾是一个不拘小节的作者，对于文章修改很不耐烦。撰写草稿的一年，让我领略到了定性但又准确表达概念的重要性与快乐。从那以后，我更愿意注重细节，并努力把这些细节表达得更加清楚些。
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我们的文章《利率单因子模型及其在国债期权上的应用》（A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options）最终发表于1990年的《金融分析家杂志》（Financial Analysts Journal）上。此时，距离我们开始开发这个模型已经四年了。令我很高兴也很惊讶的是，这个模型被广泛接受并迅速以我们名字的缩写形式布莱克-德曼-托伊为模型命名。很遗憾我们没有早点把文章发表，但费希尔是一个完美主义者，在他完全满意之前他不愿意将其发表。
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我们并不是收益率曲线一致模型的唯一开发者。在所罗门兄弟公司工作的时候，我的朋友马克·格尼斯伯格和他的上司鲍勃·柯普拉许也曾开发了一个相对简单的利率模型，尽管这个模型并不像我们那个模型那样通用。鲍勃·柯普拉许后来到高盛领导金融策略小组。欧德里希·瓦西塞奇（Oldrich Vasicek）总是走在别人的前面，已经在10年前的1977年发表了最初的类似布莱克-斯科尔斯模型的利率模型。考克斯、英格尔索（Ingersoll）和罗斯（Ross）在1985年发表了一个相对复杂但与之相联系的模型。还有一些其他的模型。那么为什么我们的模型被如此广泛地接受呢？
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我能想到三个原因。第一，我们是实践者，因此非常清楚交易部门到底需要什么样的模型。当瓦西塞奇和考克斯-英格尔索-罗斯研究小组将研究重心放在更一般的对收益率曲线建模问题上时，我们直接将债券期权作为我们的研究问题，当时债券期权市场正处于快速膨胀阶段。
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第二，我们的模型更有利于实践者使用。我们的文章是用非常务实的风格写成的，使用的是二叉树结构的语言，这是一种更为简单的、华尔街上任何人都能掌握的描述方法。我们所阐述的是一种非常简单的算法，任何人只要稍稍花点儿心思就能利用计算机程序执行我们的模型。而其他大多数当时的模型都需要较好地运用随机微积分才能理解，还要再掌握数值分析技术才能将这些模型转变为计算机程序。而在我们的模型中，转化的媒介就是信息：描述和执行几乎就是一个东西。
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第三，以前绝大多数的模型所得到的解析方程跟收益率曲线的实际形状对不上，我们的模型经过调校后几乎可以用于任何曲线，因此，我们的模型就是为了交易而出现的。事实上，对于调校的描述是我们文章中很重要的一部分。
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在接下来的几年中，许多新的收益率曲线模型出现了，每个都是以其作者名字的缩写命名的，而且富有创造力的学者和宽客们还在继续寻找新的也许是更实用的模型。现在你可以选择布莱克-卡拉辛斯基模型（Black-Karasinski）、HW模型［赫尔（Hull）和怀特（White）］、HJM模型［希斯（Heath）、杰诺（Jarrow）和默顿（Morton）］或其拓展形式BGM模型［布雷斯（Brace）、格塔瑞克（Gatarek）和穆希勒（Musiela）］。这个过程还在继续，不过采用哪个模型还是与喜好和权衡相关。选择模型的问题，就是使其能够最大程度反映你所面对的产品的风险，模型能在所容忍的时间内在计算机上运行具有足够的效率，对模型进行编程不至于过于复杂和烦琐而应足够简单。
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布莱克-德曼-托伊模型是简单且一致的，但就像任何模型那样，它并不是完全符合实际，而且很多年过去了，它的局限性愈发明显。实际上，它只有一个不确定性因子，也就是短期利率的分布，由此短期或长期的所有利率都共同变化，假定收益率曲线的初始形状一直不变。因此，尽管这个模型非常适用于对债券期权定价，但它并不适用于对基于收益率曲线性质（如曲线斜率或曲率方面）的期权进行估值。
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尽管如此，这个模型的简单特性使其无论是对于实践者还是学者而言，都是了解收益率曲线建模技术的方便的切入点，布莱克-德曼-托伊模型在这方面也确实做到了。即使此后很多更强大、更复杂的模型已经出现了，这个模型还在继续为人所用。
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开发这个模型的过程是非常有趣的，就像研究物理时的那些时光。每天中的绝大多数时间，我满脑子里只有这么一个问题，思考网格树，思考如何通过计算机程序来实现，思考如何加快计算速度，与费希尔和比尔讨论，检验计算机计算结果，做出进一步调试。有时我甚至出现睡眠困难，在半夜时分突然惊醒，直到想到一个新的解决方案才能躺回到床上。
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与我不同，费希尔非常有耐心。他对开发模型采取一种顺其自然的态度：每天都检视一下你自己知道了什么，再决定采取哪种最好的方法继续推进。至少有两次，他认为如果我们停下所有进展并重新从头来过，我们会做得更好。这是一个我所敬佩的人格特点，但我并不能接受这么做。比尔和我都是这个领域中的新人，我们急于完成我们的第一个完整成果并使它广为流传。
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费希尔第一次想从头来过是我们了解到如何将利率均值回复特性引入模型时，这一想法来自一次意外的发现，并不具有代表性。在那之前，我们在网格树中一直都是以相同的时间间隔来运行模型的。为了提高程序的运行速度，我尝试着变化了网格树中的时间间隔，使开始时的时间间隔很小，越到未来时间间隔越来越大。我这样做的目的是让我们的“估值机器”较为精确地计算当前的分布，而对距今较远的不确定性未来只做粗略估算。
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当我尝试着将这种不同间距的网格树根据当前收益率曲线进行调校时，我遇到麻烦了。程序经常不能算出任何与收益率曲线相一致的未来短期利率分布。而当我们画出网格树并检验它的拓扑结构时，这种情况又消失了。图10-7a描述了一个时间间隔相同的网格树。我们现在可以发现图10-7b中逐渐增加的时间间隔导致了网格树随时间推移而显著扩大，反映了利率逐渐偏离其均值的趋势，这种偏离的趋势与现实吻合得并不好。这就是导致调校困难的原因。同样地，如果我们如图10-7c那样逐渐减小未来的时间间隔，那么我们可以观察到短期利率逐渐向均值恢复，网格树倾向于随时间不断变窄。这种变窄的网格树反映出一种稳定利率水平的恢复性力量，这就接近于现实市场中当政府和央行干预市场稳定经济时所发生的情况。
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图10-7 布莱克-德曼-托伊模型中的波动率恒定但时间间隔不等的短期利率网状树
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当费希尔意识到时间间隔逐渐减小可以描述利率的均值回复特性时，他希望我们摒弃原来的相同时间间隔版本并从头来过。比尔·托伊和我急切地想完成我们开始的这个模型，最终我们占了上风。具有变化时间间隔的网格树最终也成为布莱克-卡拉辛斯基模型的一部分。
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费希尔通过检查网格树的拓扑结构，第一个发现了时间间隔长度与利率均值回复特性之间的联系。这也让我注意到了他的直觉的力量。只需看着这些树，他就能看出其形状中所蕴含的动态特征。只不过是在我们论文写完很久以后，我们才用优美的随机微积分语言完成对我们模型的描述，现在教科书中对我们模型的表述用的就是这种方法。
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费希尔第二次提出从头再来是在1987年年初的某个时候，他那时想到在我们的模型中加入第二个随机变化的因子。这个想法是有意义的：我们的初始模型中非常简单地假设整条收益率曲线都是取决于短期利率的。而我们也感兴趣于通过假定长期利率独立于短期利率变化，从而使我们的模型更加贴近现实。在我们的框架内引入第二个因子，就意味着我们要分析二维树形图。我们费尽心力地将这样的二维树形图根据收益率曲线进行调校。但二维或多维树形图不但难于可视化和描绘，正如你从图10-8中看到的那样，而且在计算机程序中进行处理也有点儿困难。当我们觉得还是要完成我们最初那个简单模型以便于交给交易部门使用，从而停止了这一费力的工作时，我又一次感到得救了。
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图10-8 一个未来利率的两维树形图
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几年后，费希尔、伊拉杰·卡尼（Iraj Kani）和我开始探索研究布莱克-德曼-托伊模型的二维版本，但我们没能完成这项工作。
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