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布莱克-德曼-托伊模型是简单且一致的，但就像任何模型那样，它并不是完全符合实际，而且很多年过去了，它的局限性愈发明显。实际上，它只有一个不确定性因子，也就是短期利率的分布，由此短期或长期的所有利率都共同变化，假定收益率曲线的初始形状一直不变。因此，尽管这个模型非常适用于对债券期权定价，但它并不适用于对基于收益率曲线性质（如曲线斜率或曲率方面）的期权进行估值。
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尽管如此，这个模型的简单特性使其无论是对于实践者还是学者而言，都是了解收益率曲线建模技术的方便的切入点，布莱克-德曼-托伊模型在这方面也确实做到了。即使此后很多更强大、更复杂的模型已经出现了，这个模型还在继续为人所用。
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开发这个模型的过程是非常有趣的，就像研究物理时的那些时光。每天中的绝大多数时间，我满脑子里只有这么一个问题，思考网格树，思考如何通过计算机程序来实现，思考如何加快计算速度，与费希尔和比尔讨论，检验计算机计算结果，做出进一步调试。有时我甚至出现睡眠困难，在半夜时分突然惊醒，直到想到一个新的解决方案才能躺回到床上。
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与我不同，费希尔非常有耐心。他对开发模型采取一种顺其自然的态度：每天都检视一下你自己知道了什么，再决定采取哪种最好的方法继续推进。至少有两次，他认为如果我们停下所有进展并重新从头来过，我们会做得更好。这是一个我所敬佩的人格特点，但我并不能接受这么做。比尔和我都是这个领域中的新人，我们急于完成我们的第一个完整成果并使它广为流传。
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费希尔第一次想从头来过是我们了解到如何将利率均值回复特性引入模型时，这一想法来自一次意外的发现，并不具有代表性。在那之前，我们在网格树中一直都是以相同的时间间隔来运行模型的。为了提高程序的运行速度，我尝试着变化了网格树中的时间间隔，使开始时的时间间隔很小，越到未来时间间隔越来越大。我这样做的目的是让我们的“估值机器”较为精确地计算当前的分布，而对距今较远的不确定性未来只做粗略估算。
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当我尝试着将这种不同间距的网格树根据当前收益率曲线进行调校时，我遇到麻烦了。程序经常不能算出任何与收益率曲线相一致的未来短期利率分布。而当我们画出网格树并检验它的拓扑结构时，这种情况又消失了。图10-7a描述了一个时间间隔相同的网格树。我们现在可以发现图10-7b中逐渐增加的时间间隔导致了网格树随时间推移而显著扩大，反映了利率逐渐偏离其均值的趋势，这种偏离的趋势与现实吻合得并不好。这就是导致调校困难的原因。同样地，如果我们如图10-7c那样逐渐减小未来的时间间隔，那么我们可以观察到短期利率逐渐向均值恢复，网格树倾向于随时间不断变窄。这种变窄的网格树反映出一种稳定利率水平的恢复性力量，这就接近于现实市场中当政府和央行干预市场稳定经济时所发生的情况。
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图10-7 布莱克-德曼-托伊模型中的波动率恒定但时间间隔不等的短期利率网状树
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当费希尔意识到时间间隔逐渐减小可以描述利率的均值回复特性时，他希望我们摒弃原来的相同时间间隔版本并从头来过。比尔·托伊和我急切地想完成我们开始的这个模型，最终我们占了上风。具有变化时间间隔的网格树最终也成为布莱克-卡拉辛斯基模型的一部分。
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费希尔通过检查网格树的拓扑结构，第一个发现了时间间隔长度与利率均值回复特性之间的联系。这也让我注意到了他的直觉的力量。只需看着这些树，他就能看出其形状中所蕴含的动态特征。只不过是在我们论文写完很久以后，我们才用优美的随机微积分语言完成对我们模型的描述，现在教科书中对我们模型的表述用的就是这种方法。
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费希尔第二次提出从头再来是在1987年年初的某个时候，他那时想到在我们的模型中加入第二个随机变化的因子。这个想法是有意义的：我们的初始模型中非常简单地假设整条收益率曲线都是取决于短期利率的。而我们也感兴趣于通过假定长期利率独立于短期利率变化，从而使我们的模型更加贴近现实。在我们的框架内引入第二个因子，就意味着我们要分析二维树形图。我们费尽心力地将这样的二维树形图根据收益率曲线进行调校。但二维或多维树形图不但难于可视化和描绘，正如你从图10-8中看到的那样，而且在计算机程序中进行处理也有点儿困难。当我们觉得还是要完成我们最初那个简单模型以便于交给交易部门使用，从而停止了这一费力的工作时，我又一次感到得救了。
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图10-8 一个未来利率的两维树形图
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几年后，费希尔、伊拉杰·卡尼（Iraj Kani）和我开始探索研究布莱克-德曼-托伊模型的二维版本，但我们没能完成这项工作。
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一个模型只需要一个好的想法和几个人去开发，但一个有用的工具则需要更多的人将模型进行转化。要实现这样的转化，你需要一个图表化的用户交互界面、一个包含所有交易产品细节的数据库以及用于调校的市场数据。
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但即使是收集数据也不像看上去的那么简单——模型到处都是。人们所认为的“市场数据”通常是经过其他模型或计算过滤后才产生的。收益率是从大量收集到的债券价格中提炼出来的；波动率是从历史收益率中计算出来的。随着市场不断成熟，金融产品流动性不断提高，交易员根据更多的相关证券来调整他们的报价。有时候相关证券的数量是如此之多，以至于这些证券的价格必须通过电子报价系统才能获得。所有这些都涉及软件。或早或晚，开发有用模型的每个人都会意识到这样一个事实：围绕这个模型创建一个交易系统和风险管理系统是一项巨大的、通常还是不得不面对的软件工程，需要比宽客更多的程序员。尽管模型本身很关键，但它仅仅是故事中的一小部分。
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回到1986年，当我们开发完成我们的收益率模型时，交易员们十分愿意手工将收益率曲线输入系统中去，我自己也足以胜任完成绝大部分的模型编程工作以及交互界面的开发工作。我将系统交给债券期权交易部门的交易员后，他们立即就开始测试。
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当他们开始使用我们的模型时，我第一尝到了与“中间人”斗争的滋味。中间人就是那些指定在模型开发人员和模型使用者之间负责沟通的人。中间人——通常每个部门有一名中间人——和交易员们坐在一起，以便更好地了解业务。
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中间人完成了一个有用的工作环节。对于宽客来说，理解金融、构建模型、研究数学、编写程序，还要抽时间与交易部门紧密合作，这些并不容易。而交易员则永远风风火火，需要中间人协调他们的需求，使中间人与他们在最迫切的需求上保持一致。由于交易员和宽客使用的是稍稍不同的语言，需要有个人能够听懂双方的行话，并起到指定调解人的角色，这是很不错的一件事。
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不幸的是，那时公司里在国债部门的中间人更喜欢模型开发者躲在幕后，不要出现。有个中间人利用我们的模型为交易员计算价格，但却不愿意承认这样做过。由于公司里都是按照你对公司的贡献而给你报酬的，中间人这样做就让人感到很不好。
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在抢先这方面我所能做的并不多，但我决定至少确认一下我的怀疑。几天后，我进入程序的源代码，临时性地加了几行程序，确保有人尝试使用这个程序时，屏幕上会弹出“模型修正中”的字样。几个小时之内，我开始接到中间人的电话，问我模型出了什么问题，但却不肯承认他们正在使用模型。
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从那以后，我就非常提防那些站在模型开发者和最终用户之间的人。宽客都有那种被技术上有缺陷的人绕过的切身经验，这些人从宽客那里获得信息，并在会议上将这些信息传递给其他人，可这些会议却不邀请宽客参加。那以后的很长一段时间里，当我为交易员编写程序时，我习惯在里面加入一个能够记录下谁在什么时候使用过我程序的小程序。我估计我组里的其他同事也这样做。这使我记录下体现我们自身价值的证据，即使我不能从这样做中得到一分钱。1994年，当投资银行业被迫裁员，高盛正经历困难时期时，我把记有我们量化策略小组所设计的程序被使用了多少万次的记录复印件送了一份给我的上司们。那一年，我们小组没有人被裁员，那点信息可能起了作用吧。
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在接下来的8年中，我与费希尔定期会面，尽管我们已经不再像我们开发布莱克-德曼-托伊模型时那样紧密合作了。他是我在高盛遇到的最卓越的一个人。
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他最显著的特点就是固执地注重于和热衷于清晰和简约。在写作和演讲过程中，他同样注意内容和形式。当我们写作单因子利率模型文章草稿时，费希尔要求论文中不存在任何公式，于是我就不得不费劲心力来满足他的要求：他想要的是准确和如实，且不能有技术细节，这就意味着要从内心深处理解模型，并将这种理解表述出来。我觉得正是我们的模型在技术细节上的清晰，才使它如此流行并被广泛使用。