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这种帐篷似的曲面对于各地的理论学家而言都是一项挑战。布莱克-斯科尔斯模型不能对此做出解释。对于一个指数或一只股票，在未来所有的时间里，布莱克-斯科尔斯模型都赋予其单一的波动率，因此它总是产生如图14-3a所示的那种没有起伏的、平坦的、也没有什么特点的曲面。如果你想对布莱克-斯科尔斯模型进行修正以考虑到未来指数波动率会不同于今天的波动率，你所能做的最多就是得到一种随时间而倾斜的曲面，如图14-3b所示。但波动率曲面在时间和执行价格两个方向上呈垂直变化，这一点令人困惑。经典的布莱克-斯科尔斯模型出了什么问题？怎样的新模型可能会解释这种波动率曲面呢？
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我们知道布莱克-斯科尔斯模型过于简化了股票价格的行为。它假设股票价格从当前价格以一种缓慢的、随机的、持续不断的方式向未来扩散出去，很像是从点着的香烟顶端冒出的烟雾在屋子里扩散的样子。离香烟顶端越近的地方烟雾密度越大，离香烟顶端越远的地方烟雾密度越小，某一点上烟雾的浓度就代表了烟雾颗粒扩散到这个点上的可能性。在布莱克-斯科尔斯模型中也有类似的“烟雾”，描述了股票价格在未来某个时点上达到某个特定价值的可能性。图14-4显示了布莱克-斯科尔斯模型中描述股票未来价格可能性的“烟雾”。烟雾浓度越低，未来股票价格的不确定性就越高。股票波动率习惯上用希腊字母西格玛（σ）来表示，这个字母就决定了烟雾的扩散率和宽度。股票波动率越大，烟雾范围就越宽。
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尽管简化是建模的核心，布莱克-斯科尔斯模型对“烟雾”扩散给出的描述，限定性还是太强了。第一，股票价格并不一定按照固定的波动率扩散，有时某些股票扩散的速度要大于其他股票的扩散速度。第二，也是更严重的问题是，有时股价根本就不会扩散。如图14-4所示，扩散是一个缓慢而连续的过程。在这个过程中，股票价格从100美元变化到99美元要经过这两个价位之间所有可能的价格。然而，在1987年股灾时，情况并不是这样的。那天，道琼斯指数就像是踩在弹簧上的一个兴奋的孩子，直线下跌了500点。
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图14-3 隐含波动率曲面
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图14-4 布莱克-斯科尔斯模型中的简单扩散情形
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阴影部分描述了今日股价为100美元的股票未来可能的价格变化范围。过去的时间越长，股票未来价格的不确定性越强。阴影部分颜色越深，股价越有可能落在那个区域。
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从东京回到纽约，我开始与我们量化策略小组的同事伊拉杰·卡尼和埃里克斯·伯尔吉尔一道研究这个问题。我希望扩展布莱克-斯科尔斯模型，以使其能够刚好足够包含“微笑曲线”的情况。“刚好足够”永远就是目标。模型就是模型而已，你要抓住现象的本质，而非事情本身。实事求是地讲，在布莱克-斯科尔斯模型所假定的简化股票价格演化过程中加入复杂性是再简单不过的事情，但没有经过调试的复杂性是没有意义的。
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股票投资者最担心的事情就是类似1987年股灾式的下跌，因此，我们将这种可能性加入到布莱克-斯科尔斯模型中。这并不是什么新鲜东西，默顿已经于20世纪70年代中期在他的所谓“跳跃扩散模型”（jump-diffusion）中完成了这项工作。而作为我们工作的开始，我们比他所做的更加简单。对于按照固定速度扩散的股票价格，我们仅仅加入一个新特征，也就是一个很小的概率p，这个概率描述股价可能以J幅度大幅下降的可能性。用来描述这一过程中各种可能性的“烟雾”如图14-5所示。它显示了现在股票价格可能会变化的两种情形：一种是股价以J幅度大幅下降，然后以波动率σH扩散，由于股灾之后人们的愈后兴奋状态，这一波动率可能会很高；另外更可能的一种情况是，股价按照正常的、较低的波动率σL持续扩散。
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图14-5 可能发生一次跳跃而后扩散的股票价格在未来可能的价格变化区间
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阴影部分颜色越深，价格越有可能落在那个区域。
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通常来说，我们假设概率p是以一个百分点为顺序排列的，暗含的意思是在期权存续期内，假定市场发生股灾的可能性约为1%。根据股灾后续效应的直觉和经验，我们选择σH比σL高约40%。现在，我们模型中只有两个未知的变量，股灾情形下的下跌幅度J和与股价正常行为情形下的波动率σL。新模型中变量数只比布莱克-斯科尔斯模型多出一个变量，布莱克-斯科尔斯模型中只假定单一的波动率。我们对这些变量取值进行调试，以使模型的期权价格与决定三月期波动率微笑的两个隐含波动率——实值期权隐含波动率与虚值程度为5%的看跌期权隐含波动率相匹配。在正常波动率σL接近10%，当前股价下跌幅度接近25%的情况下，我们发现我们可以得到如图14-1所示的那些波动率微笑曲线。
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我们的模型是按这样的思路来解释世界的：在期权存续期内，日经指数大概有1%的可能性会下跌25%。这就是你为什么要为虚值看跌期权支付更多期权费的原因。然后，我们利用这个模型来估计期权的delta值，也就是对冲指数风险所必需的套保比率。我们也利用它来对越来越流行的、价格对股价大幅下跌幅度与可能性更加敏感的（如障碍期权等）、更缺少流动性或更加奇异的期权进行定价。我们希望我们的交易员能在市场上寻找那些市场价格与我们模型计算出来的价格严重偏离的期权。这样，他们就可以通过买入那些价格明显被低估的期权而卖出那些价格被高估的期权，以期这些价格出现偏离的期权最终能够恢复到我们模型计算出的价格，从而获得利润。
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尽管这个跳跃模型抓住了波动率微笑的一个核心问题，但它毕竟过于粗糙了。它对未来的预测就是，日经指数每天一早开盘后，要么是出现瞬间兴奋的大幅下跌，要么是出现心平气和的扩散，这种预测过于简单了。回头看来，我们或许应该加入一个分布形式，描述可能的下跌幅度和下跌时间。但跳跃很少发生，且由于缺少这种分布的数据，我不得不做出一些未经验证的假定，这样就感觉不够严谨了。无论对错，我们最终是想得到一个约束性更强的模型，模型中的变量经过对所观察到的期权价格调试后最终确定下来。当然，10年后，关于波动率微笑的、更加细化的跳跃扩散模型又变得流行起来了。
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我们最初关于波动率微笑的模型，在高盛风险套利小组里还真的找到了用户，在那里精明能干的交易员将交易知识和量化方法结合起来，从事高层次的交易。有些套利交易员关注于并购，那些收购方常常会以超过股票当前价格的水平，面向公众提出目标公司股票的要约。如果监管者同意了并购，那么目标公司的股价就会跳跃到要约收购价格。在此之前，目标公司的股价就会反映完成这笔交易可能的预期。在这些情况下，我们的跳跃模型就在理论上给出了准确的答案，这些风险套利者偶尔就会利用我们的模型，来看一看他们对于这笔并购交易获得批准的可能性预期，是否跟目标公司当前股价隐含的跳跃可能性相匹配。
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同时，从1991年中期到1993年年初，伊拉杰和我还有量化策略小组的其他同事，暂时转向了一个更加紧迫的任务，就是要提升我们的风险系统来处理我们所交易的数量不断增多的奇异期权。
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不幸的是，我们对奇异期权研究得越多，我们就会遇到越多波动率微笑的问题：无论何时我们利用布莱克-斯科尔斯模型来对交易部门投资组合中的奇异期权进行估值时，我们所使用的是一个对非常简单的标准期权都会得到错误结果的模型，是一个与波动率微笑并不一致的模型。这种现象不好，如果它连简单情况都会搞错的话，那你就不用指望用它来处理复杂的情况了。如果美国宇航局（NASA）的一个计算机程序连地球和火星围绕太阳旋转的轨迹都不能准确预测的话，那么你就不能相信这个程序可以预报出从地球向火星发射一个行星探测器的飞行轨道。
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正确的起点是能够找到这样一个模型，它能匹配所有标准期权的市场价格，跟全部隐含波动率曲面保持一致。只有这样，当它正确调校后，你用来计算奇异期权的价值才是明智的。我们怎样才能找到一个匹配所有曲面的模型呢？
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在这里我回顾下我们布莱克-德曼-托伊模型的开发过程。20世纪80年代中期，固定收益期权领域内经历了类似的危机：实践者使用类似拉维的收益率扩散模型来对以任何一只债券为标的的期权进行估值，但感觉并不好用，因为这一模型并不能与收益率曲线上所有国债价格相匹配。布莱克-德曼-托伊模型是这一困境可能的解决方案之一。
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我们有一个巨大的优势，就是在进入权益类衍生品领域之前，我们已经有了固定收益领域的工作背景。伊拉杰和我感到在债券及其收益率与期权及其波动率之间有以下类似之处：
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·债券价格是以当前长期收益率来报价的，长期收益率反映了市场对未来短期利率的预期。
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·期权价格是以当前长期隐含波动率来报价的，长期隐含波动率反映了市场对未来短期波动率的预期。