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图14-4 布莱克-斯科尔斯模型中的简单扩散情形
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阴影部分描述了今日股价为100美元的股票未来可能的价格变化范围。过去的时间越长，股票未来价格的不确定性越强。阴影部分颜色越深，股价越有可能落在那个区域。
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从东京回到纽约，我开始与我们量化策略小组的同事伊拉杰·卡尼和埃里克斯·伯尔吉尔一道研究这个问题。我希望扩展布莱克-斯科尔斯模型，以使其能够刚好足够包含“微笑曲线”的情况。“刚好足够”永远就是目标。模型就是模型而已，你要抓住现象的本质，而非事情本身。实事求是地讲，在布莱克-斯科尔斯模型所假定的简化股票价格演化过程中加入复杂性是再简单不过的事情，但没有经过调试的复杂性是没有意义的。
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股票投资者最担心的事情就是类似1987年股灾式的下跌，因此，我们将这种可能性加入到布莱克-斯科尔斯模型中。这并不是什么新鲜东西，默顿已经于20世纪70年代中期在他的所谓“跳跃扩散模型”（jump-diffusion）中完成了这项工作。而作为我们工作的开始，我们比他所做的更加简单。对于按照固定速度扩散的股票价格，我们仅仅加入一个新特征，也就是一个很小的概率p，这个概率描述股价可能以J幅度大幅下降的可能性。用来描述这一过程中各种可能性的“烟雾”如图14-5所示。它显示了现在股票价格可能会变化的两种情形：一种是股价以J幅度大幅下降，然后以波动率σH扩散，由于股灾之后人们的愈后兴奋状态，这一波动率可能会很高；另外更可能的一种情况是，股价按照正常的、较低的波动率σL持续扩散。
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图14-5 可能发生一次跳跃而后扩散的股票价格在未来可能的价格变化区间
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阴影部分颜色越深，价格越有可能落在那个区域。
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通常来说，我们假设概率p是以一个百分点为顺序排列的，暗含的意思是在期权存续期内，假定市场发生股灾的可能性约为1%。根据股灾后续效应的直觉和经验，我们选择σH比σL高约40%。现在，我们模型中只有两个未知的变量，股灾情形下的下跌幅度J和与股价正常行为情形下的波动率σL。新模型中变量数只比布莱克-斯科尔斯模型多出一个变量，布莱克-斯科尔斯模型中只假定单一的波动率。我们对这些变量取值进行调试，以使模型的期权价格与决定三月期波动率微笑的两个隐含波动率——实值期权隐含波动率与虚值程度为5%的看跌期权隐含波动率相匹配。在正常波动率σL接近10%，当前股价下跌幅度接近25%的情况下，我们发现我们可以得到如图14-1所示的那些波动率微笑曲线。
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我们的模型是按这样的思路来解释世界的：在期权存续期内，日经指数大概有1%的可能性会下跌25%。这就是你为什么要为虚值看跌期权支付更多期权费的原因。然后，我们利用这个模型来估计期权的delta值，也就是对冲指数风险所必需的套保比率。我们也利用它来对越来越流行的、价格对股价大幅下跌幅度与可能性更加敏感的（如障碍期权等）、更缺少流动性或更加奇异的期权进行定价。我们希望我们的交易员能在市场上寻找那些市场价格与我们模型计算出来的价格严重偏离的期权。这样，他们就可以通过买入那些价格明显被低估的期权而卖出那些价格被高估的期权，以期这些价格出现偏离的期权最终能够恢复到我们模型计算出的价格，从而获得利润。
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尽管这个跳跃模型抓住了波动率微笑的一个核心问题，但它毕竟过于粗糙了。它对未来的预测就是，日经指数每天一早开盘后，要么是出现瞬间兴奋的大幅下跌，要么是出现心平气和的扩散，这种预测过于简单了。回头看来，我们或许应该加入一个分布形式，描述可能的下跌幅度和下跌时间。但跳跃很少发生，且由于缺少这种分布的数据，我不得不做出一些未经验证的假定，这样就感觉不够严谨了。无论对错，我们最终是想得到一个约束性更强的模型，模型中的变量经过对所观察到的期权价格调试后最终确定下来。当然，10年后，关于波动率微笑的、更加细化的跳跃扩散模型又变得流行起来了。
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我们最初关于波动率微笑的模型，在高盛风险套利小组里还真的找到了用户，在那里精明能干的交易员将交易知识和量化方法结合起来，从事高层次的交易。有些套利交易员关注于并购，那些收购方常常会以超过股票当前价格的水平，面向公众提出目标公司股票的要约。如果监管者同意了并购，那么目标公司的股价就会跳跃到要约收购价格。在此之前，目标公司的股价就会反映完成这笔交易可能的预期。在这些情况下，我们的跳跃模型就在理论上给出了准确的答案，这些风险套利者偶尔就会利用我们的模型，来看一看他们对于这笔并购交易获得批准的可能性预期，是否跟目标公司当前股价隐含的跳跃可能性相匹配。
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同时，从1991年中期到1993年年初，伊拉杰和我还有量化策略小组的其他同事，暂时转向了一个更加紧迫的任务，就是要提升我们的风险系统来处理我们所交易的数量不断增多的奇异期权。
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不幸的是，我们对奇异期权研究得越多，我们就会遇到越多波动率微笑的问题：无论何时我们利用布莱克-斯科尔斯模型来对交易部门投资组合中的奇异期权进行估值时，我们所使用的是一个对非常简单的标准期权都会得到错误结果的模型，是一个与波动率微笑并不一致的模型。这种现象不好，如果它连简单情况都会搞错的话，那你就不用指望用它来处理复杂的情况了。如果美国宇航局（NASA）的一个计算机程序连地球和火星围绕太阳旋转的轨迹都不能准确预测的话，那么你就不能相信这个程序可以预报出从地球向火星发射一个行星探测器的飞行轨道。
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正确的起点是能够找到这样一个模型，它能匹配所有标准期权的市场价格，跟全部隐含波动率曲面保持一致。只有这样，当它正确调校后，你用来计算奇异期权的价值才是明智的。我们怎样才能找到一个匹配所有曲面的模型呢？
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在这里我回顾下我们布莱克-德曼-托伊模型的开发过程。20世纪80年代中期，固定收益期权领域内经历了类似的危机：实践者使用类似拉维的收益率扩散模型来对以任何一只债券为标的的期权进行估值，但感觉并不好用，因为这一模型并不能与收益率曲线上所有国债价格相匹配。布莱克-德曼-托伊模型是这一困境可能的解决方案之一。
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我们有一个巨大的优势，就是在进入权益类衍生品领域之前，我们已经有了固定收益领域的工作背景。伊拉杰和我感到在债券及其收益率与期权及其波动率之间有以下类似之处：
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·债券价格是以当前长期收益率来报价的，长期收益率反映了市场对未来短期利率的预期。
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·期权价格是以当前长期隐含波动率来报价的，长期隐含波动率反映了市场对未来短期波动率的预期。
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我们的想法是开发一个后布莱克-斯科尔斯模型，这个模型能够允许我们从当前波动率曲面倒推出未来短期波动率的市场预期。我们不确定怎样实现这一目标，但我们知道世界需要一个更好的模型，而模型的发现者也会得到回报。在整个1993年，我们感觉似乎在与一个不知名的竞争者比赛，看谁能最先发现这样的模型。
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伊拉杰和我都是二项式期权模型的极大推崇者，这个模型简单、别致但却相当准确，可以根据一个未来股票价格的网格树来进行期权理论的计算。在一个二叉树中，股票价格就像国际象棋棋盘上的马一样移动，时间上向前一次一步不连续地移动，价格上向上或向下移动一格。二叉树本身又非常容易画出，而且是以一种起起伏伏的方式，模拟股票或指数的价格行为。随着棋盘上的网格逐渐变得越来越细小，价格的变化也就越来越连续了。事实上它们开始扩散了，此时二项式模型就越来越接近于布莱克-斯科尔斯模型了。二叉树就是期权理论中的费曼图，画起来简单，使用起来容易，非常适用于模拟简单交易策略或开发估值模型。即使是我们常打交道的那种不懂数学的交易员也能够理解。二叉树是在布莱克和斯科尔斯写成他们的论文后不久，最先由威廉·夏普（William Sharpe）发明的，然后又被约翰·考克斯、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）和斯蒂夫·罗斯详细阐述。随着期权理论学家逐渐变得专业化、学历越来越高，二项式模型成了一个技术含量较低的工具，但我们仍发现这个模型具有巨大的实用价值。
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因此，我们尝试使用如图14-6所示的指数期权价格二叉树作为市场对未来短期波动率观点的抽象。树中左边界表示当前指数点位，从那里开始向上或向下每一步的移动都代表了未来某种可能的指数变化。传统的二叉树做出的关键性假设是，树中所有的变化都是等百分比的。也就是说，在任何未来时间点、在任何未来指数点位，无论指数向上变化还是向下变化，都是以相同百分比扩大或收缩。用技术术语来说，指数收益率具有相同的波动率，这个波动率在整个二叉树中都保持一致，在未来每个时间和点位上全都一样。在布莱克-斯科尔斯模型中，这种固定的指数波动率就导致了由此产生的平坦隐含波动率曲面，这与现实期权市场并不相符。
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