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可以很容易地想象这样一种树形图。给局部波动率如何在树状图中变化制定一套文字上的规则，然后将树状图构建出来，就更加容易了。有了这样一种树形图后，你就可以利用它计算任何很多不同期权的价格，然后将它们的隐含波动率曲面描绘出来。我们可以看到，可以选择一种局部波动率，使其变化能够产生出一个看似真实的波动率曲面。但我们面对的最后问题是我们正在做的工作的逆过程。我们需要从市场提供的隐含波动率曲面出发，据此推导出能够反映它的唯一局部波动率。隐含波动率曲面是最初目标，如果你能从中得到唯一的隐含二叉树，那么我们设想的整个过程就将形成一个真实的理论。
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1993年整整一年，量化策略小组花了绝大部分时间继续设计更加完善的风险管理系统，与此同时，我们反复思考波动率微笑问题。在空余时间，我们对隐含二叉树进行修补，但我们仍不确定图14-7中的波动率曲面与我们希望其隐含的波动率曲面间是否存在一一对应关系。我们知道我们能从树形图开始到达波动率曲面，但从波动率曲面到二叉树又是怎样一条无可置疑的路径呢？我们就这个问题与戴夫·罗杰斯和他的交易员们讨论，他们出于我们橡胶板的类比，总是将其称之为灵活树（flexible tree）。我们构建了这种树形图的各种版本，用来对多种期权进行定价和对冲，但我们总是忙着给交易部门提供软件支持，在唯一性问题上倾注全部精力。
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曲面与树形图间的关系让我想起了30年前，我在哥伦比亚大学研究生期间听到的马克·卡茨的一次讲座，他讲的问题是如何听出一只鼓的形状。物理学家将其称之为逆散射（inverse-scattering）问题，因为虽然大多数物理模型都是从物理定律出发推导出结果，但逆散射问题却是相反的。以牛顿的万有引力理论为例，它从太阳与其行星之间的万有引力定律出发，推导出行星运动的轨迹。逆散射问题正好相反——在给定观测结果的条件下，他们会问，什么样的定律会产生这样的现象？想象一下，比如说，天文学家观测到一些地球运行轨迹中的奇怪扰动，那么对万有引力定律做出怎样的变动才能对此做出解释呢？
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我们对于从波动率曲面中提炼唯一隐含树形图的方法的寻找，就是一个逆散射问题。这种方法在金融建模中比在物理学中更常见。在物理学中，一个理论定律的美与优雅，以及得到这些定律的直觉，通常非常具有说服力，而且为解释现象提供了一个自然的起点。在金融学领域里，社会的因素比自然科学更多，因此很少有极具说服力的理论，于是我们别无选择只能采用现象学的研究方法。金融领域中，通常都是从市场数据出发，并对模型的规则进行调校以适应市场数据。这种调校的过程就是一种逆散射的研究方法，而且这也是我们在试图构建隐含树形图过程中尝试要做的事情。
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1993年年末的某个时候，我去伦敦拜访高盛在那里的交易部门。在那里，我还给《风险》杂志就奇异期权做了一次演讲。在会议间歇，我遇到了格雷厄姆·库珀，他是《风险》杂志的新编辑，还遇到了约翰·赫尔。在我们交谈过程中，我告诉他们伊拉杰和我已经做的工作。格雷厄姆和约翰告诉我，他们听说伦敦的Paribas Capital Markets公司的布鲁诺·杜佩尔、伯克利大学金融学教授马克·鲁宾斯坦（最初的恒定波动率二叉树模型的合作开发者）也在解决同样的问题。由于担心会把我们的研究信息泄露给竞争对手，我给在纽约的戴夫·罗杰斯打电话，很快征得他的同意，可以在公开场合提及伊拉杰和我已经做的工作。我匆忙返回我的酒店房间，快速在演讲的文稿中加入了几张幻灯片，以描述我们在隐含树形图方法领域的进展。在我的演讲之后，格雷厄姆邀请我向《风险》杂志提交一篇关于我们工作的文章。当约翰听我有时将我们的树形图称之为“灵活”树，有时又称之为“隐含”树，他就暗示我要用“隐含”树形图的说法。
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由于我们有很多竞争者，伊拉杰和我紧张不安地重新投入到证明我们树形图的唯一性问题上。我们每天绝大多数时间通常用来改进交易部门的模型，满足对新结构化产品的定价需要，并开发交易软件。只要我们在支持交易部门之余有了空闲时间，我们就重新尝试制订方案，要从隐含二叉树每个未来的节点上推导出唯一的局部波动率。
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我们从任意一天市场隐含波动率表面开始，如图14-2所示。然后我们构建类似图14-8所示的二叉树。在树形图中，每个指数点位和未来时间点上的每个阴影三角形都代表一个不同的局部波动率，波动率的大小用阴影部分的深浅来表示。更高的指数点位对应更低的波动率（颜色越浅），更低的指数点位对应更高的波动率（颜色越深）。究竟应该选择怎样的颜色深浅以使其与图14-2中的初始隐含波动率曲面相匹配呢？这就是问题所在。
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图14-8中的局部波动率是树形图的一个局部特征，是在每一个单独的小内部三角形中微观视角下的波动率。相反地，图14-2中的隐含波动率是一个全局性特征，是从3万英尺远的地方对所有内部三角形宽视角下的波动率。我们将某只期权的隐含波动率视为在期权存续期内，指数将要经历到的所有局部波动率的平均值[1]。
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图14-8 一个有着变化局部波动率的隐含二叉树
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树形图中阴影三角形代表着局部波动率。
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考虑一个期权，它的到期日和执行价格对应于图14-9中树形图里位于倒数第二列的手电筒所处的时间和指数点位。它的隐含波动率取值就取决于右侧那一列阴影三角形的那些局部波动率的数值，这一列阴影三角形就是在期权存续期内，指数朝着期权执行价格方向移动可能经过的局部波动率区域。假设存在一个X射线源可以将树形图中所有位于右侧带状阴影三角形区域内的局部波动率照亮，那么把在手电筒位置上到期的期权想象成这个X射线源的想法是很有帮助的。
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同样地，执行价格位于图14-10中树形图提灯位置上的期权，照亮位于左侧带状阴影三角形里的局部波动率。
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图14-9 到期期限和执行价格位于圆弧上的期权的隐含波动率照亮位于树形图右侧区域内的局部波动率
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图14-10 到期期限和执行价格位于提灯位置上的期权的隐含波动率照亮位于树形图左侧区域内的局部波动率
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执行价格位于手电筒位置的期权照亮了树形图的一部分，而执行价格位于提灯位置的期权照亮了另一部分。但没有一只期权，无论是执行价格位于提灯位置还是执行价格位于手电筒位置，都只能照亮树形图中一个三角形，这个单一节点上的波动率就是我们希望找到的模糊目标。
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我们继续努力。我们希望得到一组期权能够照亮每个内部节点上的波动率。但我们尝试的每种方案都失败了——似乎对于单一节点上的局部波动率而言，看上去似乎没有办法了。
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后来有一天，当我们在电子表格上摆弄一个五列的树形图模拟版本时，我们发现奇迹发生了。事情如此奇怪，我们在几分钟时间内还以为是由于电子表格编程出了错误。我们几乎完全是偶然地注意到，如果我们用三个执行价格完全不同的期权来照亮树形图内部的时候，其中两个期权的执行价格相近，位于前面，另外一个期权的执行价格滞后一个时间点。这样说吧，如果我们从三个不同角度向树形图内部发射X射线的话，那么只有它们相交叉的那一节点之外，所有其他地方全都照不亮，如图14-11所示。这一发现令人惊奇：我们已经找到了确定某个节点上局部波动率的运算方法，那就是根据该节点周围三个节点上不同执行价格的期权的市场隐含波动率来计算。
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图14-11 三个期权如何才能照亮一个节点
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现在我们知道了如何一步一步找到每个局部波动率了。我们可以选择隐含树形图中任一节点，从市场隐含波动率曲面上找到环绕这个节点的三个期权的隐含波动率值，然后通过我们的算法就能得到这个节点的局部波动率。利用这个方法，一次一个节点，我们可以找到所有局部波动率。通过这些局部波动率以及它们所处的隐含二叉树树形图，我们就能用与波动率微笑相一致的方法，对任何指数期权进行估值和对冲。我们兴高采烈，相信自己已经在期权定价领域取得了又一个重大突破，这个突破拓展了布莱克-斯科尔斯模型，使其与实际保持一致。