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对我来说，在斯坦福的日子愈来愈满意。我尽量找机会跟友云见面，大家都有新的工作，都忙不过来，是以在一起的时间并不多。就算经过了四十年的婚姻，我们在做学问时还是颇为独立的。在那个时候，我们的关系还未稳定下来，当时我的同事们都不认识友云，更不知道我和她交往了。写下数学方程式很容易，倾诉心事却很难，是以我们要过了这么多年才能确定下来。这也可说是数学人的通病，或更合理地说，是受数学吸引的那类人的特性。这些人和我一样，对数字要比说话来得流利顺畅。
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在这期间，斯坦福数学系内大部分人，都尽量令我有宾至如归之感。我第一次有了秘书，麦太太是个和蔼的中国人，她替我打论文，大大提高了工作效率。这时我仍然把绝大部分的时间花在数学上，但休憩的选项倒有不少。在校园散步，穿过收拾得整整齐齐的校园，从来是偷闲乐事。放眼皆是棕榈树和起伏的山丘，而西班牙殖民风格的楼房，粉墙红瓦，典雅美丽教人难忘。有时我们一起抛掷飞盘，或在办公室不远处打乒乓球。要找人到外面吃中餐也不难，此地中餐馆的选择远比普林斯顿多。
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总的来说，我在斯坦福过得很愉快，而斯坦福也很明显地对我很满意。只过了几个月就到了秋天，奥塞曼和系主任拉尔夫·菲利普斯（Ralph Phillips）便劝我留下来，他们会给我副教授的位子，虽非终身教职，但会在信上说明一年后便可拿到。
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差不多同时，约翰斯·霍普金斯和康奈尔都说要请我当副教授，我不知道他们如何知道我，但陈先生应与此有关。他和霍普金斯的周炜良是老朋友，周来自上海。霍普金斯的条件不算很好，据我了解，副教授的位置一般是拿不到终身教席的。另一方面，康奈尔的王宪钟来自北京，陈先生是他的论文导师。康奈尔还有个自以为吸引人的“绝招”，就是王宪钟愿意牵红线，说可以替我找到一位中国姑娘共结连理。但这对我来说并不算吸引，因我已经心有所属，虽然坦白地说，我不肯定在这条路上能走多远。
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虽然只在斯坦福过了数月，除了要在几份不错的工作中选择外，一切颇为安稳。当前工作没有太多的压力，在斯坦福才刚刚开始，所以并不想很快便搬到别处去。我很想留下来，享受加州的生活方式，甚至放松一点儿，虽然我的字典中难找到“放松”一词，这段日子中，精神压力之低可说是前所未有的。
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就在这时，1973年的秋天，我收到卡拉比寄来的一封信，信简短而措辞得体。8月听过我的演讲后，他一直在想这个问题，深思之余对某些方面还感迷惘，他希望我把思路扼要地写下来，好教他更好地弄明白。对我来说，卡拉比的信就如暮鼓晨钟，把我惊醒了。在其后的两星期中，我把所有事情都抛在一旁，废寝忘食，不分昼夜地工作。我先把最强的反例找出来，然后开始导出矛盾，可是，在仔细检视下并不成功。在最后一刻，当我把所有论据放在一起时，问题便出现了。于是试用其他反例，可是一个接着一个都出现问题。太抓狂了，我进入了寝食难安的状态。当花的时间足够多时，我渐渐意识到这样做等于走进了死胡同。
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我花了两星期去证明卡拉比猜想不对，结果弄到差不多要挂掉了。到了此刻，必须考虑这个希钦和我，还有许多人，都认为“好到难以置信”的猜想或者是对的。确是如此，过了一段日子后，我渐渐相信它是对的了。于是我做了一百八十度的转变，倾注心力去证明卡拉比说的没有错。我尚未知道要如何去证明它，但有一点在一开始就再明白不过，那就是，它不会是唾手可得的。
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我的几何人生（丘成桐自传） 第五章 高峰挺进
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记得好事新谐，笙调心印人依。
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弦琴天籁得相窥，太初玄秘现，物数竟同归。
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——《临江仙·记七六年事》选句，2014年
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1746年，加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）生于法国博纳，位于勃艮第产酒区，邻近第戎，他爸爸是个货郎。蒙日从小就显露出绘制建筑物草图的才能，还是少年的时候，他画的一幅细节丰富的大型家乡图，引起了一位军官的注意。在这位军官的帮助下，蒙日进了法国北部的一所军事学院。由于学校只为贵族子弟而设，平民出身的他并不能正式入学，只能在分隔开来的另一边学习绘图和测量，这样的安排并不能使蒙日满意，他渴望能碰上一个可以尽展所长的机遇。
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一年多后，机会终于来了。当时正要建造一个堡垒，有人问他如何设计枪炮的位置，好使堡垒的守军能避开敌人的炮火。蒙日利用自己创造的几何方法，完成了这个任务，速度之快甚至引起一些人的疑心。但无可怀疑的，是他数学上的才能，让他得以一展所长。
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1768年，他开始教授物理和数学，并且研究偏微分方程，以及微积分在几何上的应用。到了1780年代，他在巴黎找到数学教席，并着手研究一类特殊的非线性偏微分方程，这方程后来称为蒙日—安培方程。之所以把安培的名字放上去，可能是反映数十年后，安培对方程的某些修订。大家知道，安德烈—玛里·安培（AndréMarie Ampère）是法国科学家，对电磁学有很大的贡献，电流的单位安培就是以他名字命名的。（说“可能”是因为我不肯定安培实质做了什么贡献，有时方程式会不知何解地附上某人的名字。）
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蒙日的故事告诉人们，除了对数学本身的兴趣外，数学事业的开展可以是间接或出乎意料的。这里提到蒙日的原因，乃因卡拉比猜想可以由一条蒙日—安培方程表达出来。前面说过，这是一条非线性的方程，含有至少两个独立的变量，并且是“复”的，即是说，它和复数有关。对我而言，面对的挑战是，除了一维的简单情况外，没有人曾经解过复的蒙日—安培方程。在卡拉比猜想中，我要求解的乃是高维空间上的复蒙日—安培方程，这是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此。
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在斯坦福的1973—1974学年，我开始着手求解蒙日—安培方程。那时距离蒙日发现这方程已差不多两个世纪了。可幸人们已经找到一些可使用的数学工具，而我自己也找到一些新的法子，这是蒙日当年不可能想象到的。我首先考虑在实数域上的蒙日—安培方程，它和曲面的曲率有关。实方程比复方程的处理来得容易一些，我邀请友人郑绍远合作。他当时在伯克利，时常来斯坦福看我。我的策略是借着对实方程的研究，来加强对方程的了解，然后才对付比较麻烦的复方程。
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也许是幸运之神的眷顾，绍远和我不久即有所获，我们解了一个在著名的闵可夫斯基问题中出现的蒙日—安培型的方程。这个问题，以最简略的言辞来说，就是要找出给定曲率的曲面。你或者已经猜到为何我对这问题感兴趣。自从四年前修了莫里的课后，我一直对几何和偏微分方程的关系情有独钟。这亦是几何分析发展的主要动力，我正在这领域中努力，开发耕耘，并与其他志同道合者如郑绍远、理察和西蒙等群策群力。
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解决这类问题的策略，正如上一章所述，在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日—安培方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性。
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1974年春天，陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫（Mikhail Gromov）被视为当世最杰出的年轻几何学者之一，他正初次访问伯克利，伯克利待之为上宾。在六个月前，我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积，格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法，无论如何，这结果经得起考验，绝没有错。
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这次在伯克利讲的是另一主题，就是在几何空间中的“谱”，即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上，它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难，宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法，就如上次争辩中的做法一样，非常倚重非线性偏微分方程，而格罗莫夫并非这方面的专家，或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白，而是嚷道我的理论有严重错误。
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他对我说话的态度，好像我是个差劣的学生，没有好好地做作业。在研讨班上，他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底，据我揣摩，是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理，都必须用直观几何的方法来证明，不能用拓扑或图形解释的方法，而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念：深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外，还需要加上大量分析的方法，尤其是新近发展的非线性分析的工具，并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念，四十年来的经验，显示这是正确而且丰富的想法。
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这次研讨班不算成功，格罗莫夫不断高声质疑，它怎可能会好。不过，其后我把证明详细地再讲给他听，并答复了他一次又一次的问难，终于把分析的方法化作纯粹的几何术语，阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然，对结果默默接受了。几年后，他将我的几何解释应用于其他几何问题上，他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。
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后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生，他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学，就有点像用细小的片片，如乐高般嵌成整个几何的空间或流形，从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法，利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同，却殊途同归。必须重申，瑟斯顿想得透彻而具原创力，他的论证不必时时详尽清晰，其理念却对数学有深刻而长远的影响。
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