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1768年,他开始教授物理和数学,并且研究偏微分方程,以及微积分在几何上的应用。到了1780年代,他在巴黎找到数学教席,并着手研究一类特殊的非线性偏微分方程,这方程后来称为蒙日—安培方程。之所以把安培的名字放上去,可能是反映数十年后,安培对方程的某些修订。大家知道,安德烈—玛里·安培(AndréMarie Ampère)是法国科学家,对电磁学有很大的贡献,电流的单位安培就是以他名字命名的。(说“可能”是因为我不肯定安培实质做了什么贡献,有时方程式会不知何解地附上某人的名字。)
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蒙日的故事告诉人们,除了对数学本身的兴趣外,数学事业的开展可以是间接或出乎意料的。这里提到蒙日的原因,乃因卡拉比猜想可以由一条蒙日—安培方程表达出来。前面说过,这是一条非线性的方程,含有至少两个独立的变量,并且是“复”的,即是说,它和复数有关。对我而言,面对的挑战是,除了一维的简单情况外,没有人曾经解过复的蒙日—安培方程。在卡拉比猜想中,我要求解的乃是高维空间上的复蒙日—安培方程,这是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来,工作的进展甚为缓慢,其因在此。
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在斯坦福的1973—1974学年,我开始着手求解蒙日—安培方程。那时距离蒙日发现这方程已差不多两个世纪了。可幸人们已经找到一些可使用的数学工具,而我自己也找到一些新的法子,这是蒙日当年不可能想象到的。我首先考虑在实数域上的蒙日—安培方程,它和曲面的曲率有关。实方程比复方程的处理来得容易一些,我邀请友人郑绍远合作。他当时在伯克利,时常来斯坦福看我。我的策略是借着对实方程的研究,来加强对方程的了解,然后才对付比较麻烦的复方程。
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也许是幸运之神的眷顾,绍远和我不久即有所获,我们解了一个在著名的闵可夫斯基问题中出现的蒙日—安培型的方程。这个问题,以最简略的言辞来说,就是要找出给定曲率的曲面。你或者已经猜到为何我对这问题感兴趣。自从四年前修了莫里的课后,我一直对几何和偏微分方程的关系情有独钟。这亦是几何分析发展的主要动力,我正在这领域中努力,开发耕耘,并与其他志同道合者如郑绍远、理察和西蒙等群策群力。
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解决这类问题的策略,正如上一章所述,在于寻求一系列的近似解,近似的程度愈来愈精准,以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日—安培方程,从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解,建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性。
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1974年春天,陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫(Mikhail Gromov)被视为当世最杰出的年轻几何学者之一,他正初次访问伯克利,伯克利待之为上宾。在六个月前,我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积,格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法,无论如何,这结果经得起考验,绝没有错。
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这次在伯克利讲的是另一主题,就是在几何空间中的“谱”,即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上,它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难,宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法,就如上次争辩中的做法一样,非常倚重非线性偏微分方程,而格罗莫夫并非这方面的专家,或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白,而是嚷道我的理论有严重错误。
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他对我说话的态度,好像我是个差劣的学生,没有好好地做作业。在研讨班上,他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底,据我揣摩,是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理,都必须用直观几何的方法来证明,不能用拓扑或图形解释的方法,而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念:深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外,还需要加上大量分析的方法,尤其是新近发展的非线性分析的工具,并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念,四十年来的经验,显示这是正确而且丰富的想法。
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这次研讨班不算成功,格罗莫夫不断高声质疑,它怎可能会好。不过,其后我把证明详细地再讲给他听,并答复了他一次又一次的问难,终于把分析的方法化作纯粹的几何术语,阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然,对结果默默接受了。几年后,他将我的几何解释应用于其他几何问题上,他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。
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后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生,他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学,就有点像用细小的片片,如乐高般嵌成整个几何的空间或流形,从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法,利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同,却殊途同归。必须重申,瑟斯顿想得透彻而具原创力,他的论证不必时时详尽清晰,其理念却对数学有深刻而长远的影响。
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从与格罗莫夫和瑟斯顿等人的交流中,我上了宝贵的一课。那就是,在几何分析作为一种工具广为人所接受之前,必须克服来自主流的几何和拓扑学者的重重阻力。想深一层,所有新的方法,尤其是和已知迥异的,在成为潮流前莫不如此。对新事物保守的反应,一方面使新事物小心谨慎地发展,这是好事,但另一方面亦会阻碍其向前的步伐。
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我并没有让这些挑剔破坏工作上的热情,一切进展得很顺利,可在个人问题上遇到了些许挫折。1974年6月,友云原来在斯坦福当博士后,但她随即在普林斯顿找到另一份博士后工作。普林斯顿的等离子物理实验室坐落在大学校园,是美国能源部的实验室,对她来说这是份绝佳的差事。正常来说,我会替她高兴;然而,这意味着我们不久之后,又要分隔在美国的两端了。她很快便离开了,驾驶着车子和她母亲往普林斯顿去了。
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此时,一个香港的老朋友徐少达出其不意来访,还带上他的女朋友,这使我暂时把苦恼抛开。他女友打算短期内回香港,正和他处于分手的边缘。我们即兴到优胜美地国家公园一游,黄昏时就坐上我的车子出发,到山上已经很晚了。这次仓促的出游,正是我们需要的。高耸入云的山峰,令人屏息凝神,神奇的力量使人精神超越,纵览天下,耳目一新。此行如此美妙,少达和女友决定共订鸳盟。
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我在为他们高兴的同时,想到自己目前仍是孤身一人。我一如既往投身于工作,早已习惯了长时间的工作,有时直至深夜,甚至在案前睡着了。这样的生活方式,当然不利于呵护一段男女关系。不过,我现在孑然一身,手头也不乏数学项目,供我消耗时间,燃烧思想,尤其是卡拉比猜想,早已令我沉迷而不知返了。
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复蒙日—安培方程是卡拉比猜想的中心问题,在对付它之前,绍远和我认为应先做些额外的工作。1974年,我们开始研究狄利克雷问题。彼德·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷(Peter Gustave Lejeune Dirichlet)是德国数学家。我们开始时并不知卡拉比和尼伦伯格也在研究同一问题。所谓“边界值问题”,其基本思想可简言如下:正如简单的方程式的解是一点集如圆形或拋物线,更复杂的微分方程的解乃是曲面。狄利克雷问题提出:假如这个曲面的边界已知,能否从此确定曲面内部每一点的位置,使这曲面满足给出的微分方程?标准的方法是,正如上面已经提过,利用一连串的估值和逼近,最后得出满足这偏微分方程的函数。
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在狄利克雷问题或卡拉比猜想中应用的估值法过于繁复,在此描述并不适宜。考虑较简易的逼近技巧牛顿法,用此法求解实数值函数的零点,即该函数的图像和x轴的交点。我们从估值x0开始,穿过x0上图像的切线与x轴相交于x1,如此继续下去而得到x2、x3……这些点会愈来愈接近于零点x。(原图引自顾险峰和尹晓田)
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尼伦伯格已安排了在1974年温哥华举行的国际数学家大会上做一小时的主题演讲,题目正是他和卡拉比对这个狄利克雷问题的解答。但是,陈先生告诉我们,卡拉比和尼伦伯格在他们流通的预印本中发现了一个错处,于是问题顿成悬案,成为众人注目的难题。
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我告诉陈先生,绍远和我很有信心已经解决了这个问题。当时,尼伦伯格正打算1974年春来访伯克利,陈先生于是安排我们四人在路易餐厅共进午餐,餐厅坐落在离金门大桥不远的沙滩上。在见面前一晚,绍远和我小心翼翼地把证明检查一遍,肯定不能犯错。尼伦伯格是偏微分方程的权威,我们不想犯错令自己尴尬。我们找到论证中的一个错误,幸好在凌晨两点改正了。吃饭之前,我们向尼伦伯格说明我们的解法,他觉得看来十分合理,绍远和我都很开心,但晚上再看时又发现了更多漏洞,这些漏洞令人沮丧,但同时亦使我们对这类方程有了更进一步的了解。六个月之后,我们终于想出补救漏洞的方法,并最终解了一个比较弱的狄利克雷问题。十年之后,尼伦伯格和其他人一起解决了狄利克雷问题的一个较强的版本。
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不过,这次和尼伦伯格在旧金山的会面,倒在另一方面发挥了作用。同年较早一点时,奥塞曼推荐我为斯隆学者(Sloan Fellow),这是给年轻助理教授的殊荣。斯隆学者可以在任何学校访问一年,薪金由斯隆基金会资助。开始时,我计划利用这身份到普林斯顿,借此机会和友云再聚,重新开始,甚至更进一步。
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我写了封信给项武忠(他当时刚从耶鲁转到普林斯顿),问他我可否在普林斯顿以斯隆学者的身份至少待上半年。几天后,他告诉我数学系并没有足够的办公室。时隔多年,人也比较世故了,知道项武忠和其他人如果愿意我来,办公室总是可以找到的。我写信给系主任可能有不同的结果,但已经太迟了。依靠相识的人是个错误,因你不知道他是否欢迎你。(不无讽刺地,几年后情况完全改变了。普林斯顿的系主任请项武忠打电话来,说要请我去当教授。我当下推却了。那不是报复,只是当时还不是去的时机。)
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幸好,尼伦伯格毫不犹疑就说,我应该在1975年秋天访问纽约大学的柯朗研究所,那儿距离普林斯顿不远。尼伦伯格对我到曼哈顿一事十分热心,午餐快完时,事情也差不多敲定了。
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一当狄利克雷问题(弱形式)告一段落,我立即向卡拉比猜想发起进攻。我的策略很直接,就是把从实蒙日—安培方程学到的东西,尽量套用在复蒙日—安培方程上。绍远对做复几何的兴趣不大,这时就鞠躬退场,转战他感兴趣而又更熟悉的题目去了。附带一说,他也会到柯朗所去,我们还有机会在那儿聚首,并且一起为几何分析这门新的领域添砖加瓦。
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1975年8月,我到了纽约。这次纽约之行还有个好处,斯隆学者是不用教书的,我可以全心全意地破解卡拉比猜想和其他数学难题。
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我一心要充分利用这个机会,然而首要的事,却是在曼哈顿找一个落脚的地方。那儿租金很贵,一个单身公寓,月租最少也得二百美元,这不适合我的预算。幸好,于尔根·莫泽伸出援手。莫泽当过柯朗所的所长,也是陈先生的朋友。他的朋友在泉水街租了一间租金管制下的公寓,月租只需五十美元,简直妙极了。莫泽可没有权利把公寓租出,因为租约上不是他名字,所以他嘱咐我不要跟房东接触。刚巧那房东是个不通晓英语只讲粤语的华人,我当然能讲粤语,却要假装一句也听不懂他说的话。如果公寓出了什么问题,我只管跟莫泽说,他会把问题弄妥。莫泽愿意为一个可说是萍水相逢的人这样做,可见他为人仗义。
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