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米克斯在讲授三维流形，我先去听了他的课。课上他提到德恩引理，立时引起我的共鸣，我对这个结果早就感兴趣了。20世纪初，德国数学家马克思·德恩（Max Dehn）提出了这样的结果：如果浸入三维空间的一个圆盘上含有一奇点，即曲面在某点或自相交，或折叠，或具其他异常状态，则在它附近，可用一相同边值但不具奇点的圆盘替代之。这个引理在三维空间的理论中极为重要，不幸的是德恩的证明出现了问题。1956年，普林斯顿的希腊数学家赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯（Christos Papakyriakopoulos）给出了正确的证明，约翰·米尔诺用以下的打油诗描述其成就：
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The perfidious lemma of Dehn
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drove many a good man insane
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but Christos Pap-
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akyriakop-
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oulos proved it without any pain.
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（译文）
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何德恩之困惑兮，引理证而履险，
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君子坐堂求解兮，心疯狂而意癫。
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希腊有士来援兮，帕基里亚科普[4]，
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洛斯殆得天授兮，题解出乎瞬间。
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米克斯和我找到了德恩引理的一个加强版本，并利用里面使用的技巧，证明了一个著名的猜想：当边界是凸曲线时，杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）极小曲面不含奇点。道格拉斯于1936年获颁首届菲尔兹奖。
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作者和米克斯证明的德恩引理给出简化或化解自相交曲面的技巧，使原来曲面变成没有自相交、折叠或其他奇点的曲面。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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这个加强版的德恩引理，后来成为破解一个屹立四十年的拓扑问题的关键，这个问题叫史密斯猜想，它是在1939年由美国拓扑学者保罗·史密斯（Paul Smith）提出的。要知道我们身处的三维空间，当然可以围绕着一根直轴旋转，使得只有直轴上的点是不动的。这类似平面上的旋转只有一点不动，又如大厅或书房内放置的地球仪，旋转时只有南北两极不动。史密斯却考虑三维空间有没有其他的“旋转”，令不动的轴心像一条打了结的绳子。史密斯断言这是没有可能的，这看来再清楚不过，你如何能把球绕着打结的轴转呢？可是要证明它，光用我们的结果还不够，还得加上其他人包括卡梅伦·戈丹（Cameron Gordan）和比尔·瑟斯顿等人的研究结果，才能证明猜想在三维空间中成立。据我所知，利用极小曲面为工具来解决拓扑上的问题，这是第一次。在这次成功的驱使下，很多人开始利用这些想法来证明其他拓扑问题。