1705578122
1705578123
稍后，坎德拉斯、霍罗威茨、斯特鲁明格和威滕他们四剑合璧，于1985年发表论文《超弦的真空结构》。这篇奠基性的文章被视为“第一次弦革命”的一章，文中论证这多出来的六个维必须隐藏于卡拉比—丘流形之内。这些流形的形状将会决定大自然中什么粒子能够存在，它们的质量、粒子间相互作用的强度和其他种种物理特征。物理学家布莱恩·格林断言：“宇宙的密码，也许就刻在卡拉比—丘空间的几何之中。”
1705578124
1705578125
人类能用自己的感观去了解的宇宙共有四维，而弦理论却指出宇宙应有十维，只是新添的六维很细小，我们看不见。“真空结构”一文本质上为两者的共容架起了一道桥梁。除此之外，加上其他新近的发展，尤其是物理学家迈克尔·格林（Michael Green）和约翰·施瓦茨（John Schwarz）的工作，一时之间，弦理论闹得沸沸扬扬。大家都期望，这套理论能够把物理统一起来，完成爱因斯坦生命最后三十年未竟的工作。
1705578126
1705578127
1705578128
1705578129
1705578130
六维的五次卡拉比—丘流形的三维切片。（感谢印第安纳大学的安德鲁·汉森供图）
1705578131
1705578132
我也感染了“弦热”，一方面因卡拉比—丘空间在整个理论中担当了重要的角色，另一方面，当时很多物理学者都不熟悉理论背后抽象的几何，因此常常给人问询，要求解释。弦理论促使数学工作者和物理学者大量合作，这现象一直持续了好多年。我给推到风浪尖端，亲眼看到在物理和数学上的非凡进展，实在是激动人心。
1705578133
1705578134
1705578135
1705578136
1705578137
1705578138
1705578139
1705578140
试想象，四维的时空如一条直线，向两端无限延伸。直线是没有厚度的，但如用放大镜去看却不然。它拥有一个额外的维数，那就是截面圆的直径，见上图。弦理论采取了相同“额外维”的观点，而且更进一步，见下图。仔细检视我们身处的四维时空，可见有一个六维的卡拉比—丘流形蜷缩在内。无论如何把线切开，皆可见其中深藏的卡拉比—丘流形，而所有这些流形都是一样的。（原图引自顾险峰和尹晓田）
1705578141
1705578142
卡拉比—丘这个名词是由坎德拉斯和他的合作者在三十年前率先叫起来的。搜索此词，相关的讯息有四十万条。更进一步，“卡拉比—丘”也是2001年一出话剧的剧名。而“卡拉比—丘空间”则是底特律乐队“多普勒效应”一张专辑的名字。意大利艺术家弗朗西斯科·马丁也有几幅作品，标题中含有“卡拉比—丘”这个词。伍迪·艾伦2003年在《纽约客》上发表的故事，里面提到一位女士的微笑，“向上弯形成卡拉比—丘的形状”。这名称如此普遍，有时也产生错觉，卡拉比是否也是我的名字？我并不介意，我钦佩卡拉比的创造能力，很荣幸能和他并称。卡拉比也说：“我很高兴我的名字和丘永远连在一起。”
1705578143
1705578144
有一个问题斯特鲁明格和威滕都觉得很重要，那就是有多少个卡拉比—丘空间。1984年斯特鲁明格就向我提出这个问题，他心中希望只有一个，那么一切都会变得顺利。当时我只知道有两个卡拉比—丘流形，过了不久又找到了几个。从建构这些流形的方法看，例子会有更多。我估计卡拉比—丘流形有上万个，不同的流形对应弦理论方程不同的解，并具有不同的拓扑结构。现在，我们知道，卡拉比—丘流形比我原先的想象还要多许多。我曾提出这样的猜想，就是六维（或复三维）的卡拉比—丘空间只有有限个（但数目也不少）。
1705578145
1705578146
回到1984年弦理论才刚刚起步时，当时斯特鲁明格对我的回答感到沮丧。从理论家的观点看，只要有一个或仅仅几个这样的流形，一切都会变得简单。1985年在伊利诺伊州的阿贡国家实验室召开了早期弦理论的主要会议，我在会上向大批物理学者宣布了这个消息，使大家的狂热冷却了一点。
1705578147
1705578148
这次会议中，所有弦理论的领军人物和其他领域的高手都来了。他们做报告，提交论文，其中包括戴维·格罗斯和赫拉尔杜斯·霍夫特（Gerard’t Hooft）两位未来的诺贝尔物理学奖的得主。上面提过的格林、施瓦茨和威滕也来了。我也提交了有关卡拉比—丘空几何的论文，题目很专业，叫《具零里奇曲率的紧三维凯勒流形》，题目中的凯勒流形是复流形，三维复流形的实维数等于6，符合弦理论的要求。
1705578149
1705578150
到阿贡开会之前，霍罗威茨、斯特鲁明格和威滕问我能否找到一个欧拉数为+6或—6的卡拉比—丘流形。欧拉数（或欧拉特征）是把拓扑空间分类的简易方法，它是个可正可负的整数，人们用它来测试两个拓扑空间是否等价。试看一个简单的例子，四面体或“三角形金字塔”含有四个三角形的面，它的欧拉数为2，即由面的数目（4）加上顶点的数目（4），然后减去棱边的数目（6）而成。
1705578151
1705578152
1705578153
1705578154
1705578155
欧拉数或欧拉特征原来是用来分类多面体的，后来发现也可用来描述更复杂的拓扑空间（包括卡拉比—丘流形）。对多面体来说，欧拉特征由公式F+V—E给出，其中F为面的数目，V为顶点的数目，E为棱边的数目。用这简明的公式，即知正立方体的欧拉特征为6+8—12＝2。四面体则为4+4—6＝2。1750年欧拉首先发现所有凸多面体的欧拉特征皆等于2。
1705578156
1705578157
威滕说明了粒子类别的数目必须等于流形欧拉数绝对值的一半。因此，物理界的友人都希望能找到一个欧拉数为+6或—6的卡拉比—丘流形。一个欧拉数绝对值为6的流形，刚好能导致三大类粒子，这是现代物理的“标准模型”中的基本特征。
1705578158
1705578159
弦理论学者的宏图大计，首先是要说明如何从弦理论推导出物理学界众所周知的“标准模型”，然后始能更进一步。可是，坎德拉斯他们利用的卡拉比—丘流形只能导出四类粒子，虽然离三不远，但还不够。相差了一类是严重的偏差，就像在电影《小鬼当家》中，一个小孩给弄丢了，情况必须尽快解决。
1705578160
1705578161
出发前往阿贡之前，我没有时间考虑这个问题。在从圣迭戈飞往芝加哥途中，我在飞机上开始思考，到达奥黑尔国际机场前，就找到了一个欧拉数为—6的卡拉比—丘流形。我巴不得立刻把消息传开去，但在这样做之前必须先找人送我到会场。有个人上前和我打招呼，我以为他就是大会安排的司机。可是上车后才知道他从来未闻阿贡实验室，当然亦不知它在那里。四十多公里的路程，绕道而行，车资竟花了五十美元，而且已经是狠狠地杀了价。
1705578162
1705578163
我在这次会议上的讲话反响很好。我曾参加过很多科学上的集会，尤以这次的印象最为深刻。大会弥漫着一片激动的气氛，充满乐观的情绪。与会者对大会主题的专注亦使人难忘，他们不仅把自己的工作成果和大家分享，而且对于同一个主题，天大的主题，竭尽心力去破解它。媒体方面也派人来了，他们字字留心，大家都有这样的想法，科学研究到了一个万众期待的关键时刻，这将是场影响深远的会议。
1705578164
1705578165
要长久地保持这种激情是不可能的，可是弦理论的终极目标是如此恢宏，就算真的能完全实现，也要花上很多年的时间。理论刚开始时，大家都满怀希望，想要创造一套包罗万象的理论，可是迄今还未成功，亦可能永远不会完全成事。纵然如此，弦理论对物理和数学已有了许多意想不到的贡献，就算弦理论终究成不了大自然的终极理论，至少它是迈向这方向的一步。到了现在，这套理论已有许多有趣的结果，使人们赞叹不已。所以，就算到了最后，弦理论达不成人们原来对它的指望，我们也不能视之为失败，毕竟弦理论引发出来的数学发展可以说是划时代的。
1705578166
1705578167
而我个人，则带着雀跃的心情从阿贡实验室回到圣迭戈，急不可待地投入弦理论的研究。我请了一个物理学博士后布赖恩·哈特菲尔德（Brian Hatfield），他的博士论文和弦理论有关。那年我有十五个研究生，我跟他们讲述如何构造卡拉比—丘流形，那是在往芝加哥的飞机上想到的。学生田刚指出这方法能用来构造更多欧拉数为—6的流形，稍后确实也造出来了。不过，后来发现这些所谓新的流形，虽然看来非常不同，其实它们都可以由我找到的那个流形通过形变产生，因此它们和原来的流形在拓扑上是等价的。
1705578168
1705578169
卡拉比—丘流形既然对弦理论和数学大有用处，我便继续研究这些流形的诸般性质，更编辑了一本名为《弦理论的数学》的书。然而，正如在前面说过，我很少在同一时间只专注一事，弦理论并没有占据我全部的心思，我仍然希望在几何分析上多做点工作。事实上，弦理论中用上的卡拉比—丘流形便出自几何分析，我的“同伙”理察和汉密尔顿都在UCSD，大家一起在这方面努力。
1705578170
1705578171
理察和我继续合作，例如研究正纯量曲率流形的分类，还有紧流形的山边问题（Yamabe Problem）。理察努力攻克后面的课题，终于在1984年成功了，这是他的一项主要成就。1982年我们在高研院讲课，现在到了圣迭戈便继续下去。在这课上讲述的是我们原创的工作，其中包含尚未发表的想法。有时我们工作过了午夜，为的就是准备次日的课。