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试想象，四维的时空如一条直线，向两端无限延伸。直线是没有厚度的，但如用放大镜去看却不然。它拥有一个额外的维数，那就是截面圆的直径，见上图。弦理论采取了相同“额外维”的观点，而且更进一步，见下图。仔细检视我们身处的四维时空，可见有一个六维的卡拉比—丘流形蜷缩在内。无论如何把线切开，皆可见其中深藏的卡拉比—丘流形，而所有这些流形都是一样的。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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卡拉比—丘这个名词是由坎德拉斯和他的合作者在三十年前率先叫起来的。搜索此词，相关的讯息有四十万条。更进一步，“卡拉比—丘”也是2001年一出话剧的剧名。而“卡拉比—丘空间”则是底特律乐队“多普勒效应”一张专辑的名字。意大利艺术家弗朗西斯科·马丁也有几幅作品，标题中含有“卡拉比—丘”这个词。伍迪·艾伦2003年在《纽约客》上发表的故事，里面提到一位女士的微笑，“向上弯形成卡拉比—丘的形状”。这名称如此普遍，有时也产生错觉，卡拉比是否也是我的名字？我并不介意，我钦佩卡拉比的创造能力，很荣幸能和他并称。卡拉比也说：“我很高兴我的名字和丘永远连在一起。”
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有一个问题斯特鲁明格和威滕都觉得很重要，那就是有多少个卡拉比—丘空间。1984年斯特鲁明格就向我提出这个问题，他心中希望只有一个，那么一切都会变得顺利。当时我只知道有两个卡拉比—丘流形，过了不久又找到了几个。从建构这些流形的方法看，例子会有更多。我估计卡拉比—丘流形有上万个，不同的流形对应弦理论方程不同的解，并具有不同的拓扑结构。现在，我们知道，卡拉比—丘流形比我原先的想象还要多许多。我曾提出这样的猜想，就是六维（或复三维）的卡拉比—丘空间只有有限个（但数目也不少）。
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回到1984年弦理论才刚刚起步时，当时斯特鲁明格对我的回答感到沮丧。从理论家的观点看，只要有一个或仅仅几个这样的流形，一切都会变得简单。1985年在伊利诺伊州的阿贡国家实验室召开了早期弦理论的主要会议，我在会上向大批物理学者宣布了这个消息，使大家的狂热冷却了一点。
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这次会议中，所有弦理论的领军人物和其他领域的高手都来了。他们做报告，提交论文，其中包括戴维·格罗斯和赫拉尔杜斯·霍夫特（Gerard’t Hooft）两位未来的诺贝尔物理学奖的得主。上面提过的格林、施瓦茨和威滕也来了。我也提交了有关卡拉比—丘空几何的论文，题目很专业，叫《具零里奇曲率的紧三维凯勒流形》，题目中的凯勒流形是复流形，三维复流形的实维数等于6，符合弦理论的要求。
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到阿贡开会之前，霍罗威茨、斯特鲁明格和威滕问我能否找到一个欧拉数为+6或—6的卡拉比—丘流形。欧拉数（或欧拉特征）是把拓扑空间分类的简易方法，它是个可正可负的整数，人们用它来测试两个拓扑空间是否等价。试看一个简单的例子，四面体或“三角形金字塔”含有四个三角形的面，它的欧拉数为2，即由面的数目（4）加上顶点的数目（4），然后减去棱边的数目（6）而成。
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欧拉数或欧拉特征原来是用来分类多面体的，后来发现也可用来描述更复杂的拓扑空间（包括卡拉比—丘流形）。对多面体来说，欧拉特征由公式F+V—E给出，其中F为面的数目，V为顶点的数目，E为棱边的数目。用这简明的公式，即知正立方体的欧拉特征为6+8—12＝2。四面体则为4+4—6＝2。1750年欧拉首先发现所有凸多面体的欧拉特征皆等于2。
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威滕说明了粒子类别的数目必须等于流形欧拉数绝对值的一半。因此，物理界的友人都希望能找到一个欧拉数为+6或—6的卡拉比—丘流形。一个欧拉数绝对值为6的流形，刚好能导致三大类粒子，这是现代物理的“标准模型”中的基本特征。
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弦理论学者的宏图大计，首先是要说明如何从弦理论推导出物理学界众所周知的“标准模型”，然后始能更进一步。可是，坎德拉斯他们利用的卡拉比—丘流形只能导出四类粒子，虽然离三不远，但还不够。相差了一类是严重的偏差，就像在电影《小鬼当家》中，一个小孩给弄丢了，情况必须尽快解决。
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出发前往阿贡之前，我没有时间考虑这个问题。在从圣迭戈飞往芝加哥途中，我在飞机上开始思考，到达奥黑尔国际机场前，就找到了一个欧拉数为—6的卡拉比—丘流形。我巴不得立刻把消息传开去，但在这样做之前必须先找人送我到会场。有个人上前和我打招呼，我以为他就是大会安排的司机。可是上车后才知道他从来未闻阿贡实验室，当然亦不知它在那里。四十多公里的路程，绕道而行，车资竟花了五十美元，而且已经是狠狠地杀了价。
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我在这次会议上的讲话反响很好。我曾参加过很多科学上的集会，尤以这次的印象最为深刻。大会弥漫着一片激动的气氛，充满乐观的情绪。与会者对大会主题的专注亦使人难忘，他们不仅把自己的工作成果和大家分享，而且对于同一个主题，天大的主题，竭尽心力去破解它。媒体方面也派人来了，他们字字留心，大家都有这样的想法，科学研究到了一个万众期待的关键时刻，这将是场影响深远的会议。
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要长久地保持这种激情是不可能的，可是弦理论的终极目标是如此恢宏，就算真的能完全实现，也要花上很多年的时间。理论刚开始时，大家都满怀希望，想要创造一套包罗万象的理论，可是迄今还未成功，亦可能永远不会完全成事。纵然如此，弦理论对物理和数学已有了许多意想不到的贡献，就算弦理论终究成不了大自然的终极理论，至少它是迈向这方向的一步。到了现在，这套理论已有许多有趣的结果，使人们赞叹不已。所以，就算到了最后，弦理论达不成人们原来对它的指望，我们也不能视之为失败，毕竟弦理论引发出来的数学发展可以说是划时代的。
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而我个人，则带着雀跃的心情从阿贡实验室回到圣迭戈，急不可待地投入弦理论的研究。我请了一个物理学博士后布赖恩·哈特菲尔德（Brian Hatfield），他的博士论文和弦理论有关。那年我有十五个研究生，我跟他们讲述如何构造卡拉比—丘流形，那是在往芝加哥的飞机上想到的。学生田刚指出这方法能用来构造更多欧拉数为—6的流形，稍后确实也造出来了。不过，后来发现这些所谓新的流形，虽然看来非常不同，其实它们都可以由我找到的那个流形通过形变产生，因此它们和原来的流形在拓扑上是等价的。
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卡拉比—丘流形既然对弦理论和数学大有用处，我便继续研究这些流形的诸般性质，更编辑了一本名为《弦理论的数学》的书。然而，正如在前面说过，我很少在同一时间只专注一事，弦理论并没有占据我全部的心思，我仍然希望在几何分析上多做点工作。事实上，弦理论中用上的卡拉比—丘流形便出自几何分析，我的“同伙”理察和汉密尔顿都在UCSD，大家一起在这方面努力。
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理察和我继续合作，例如研究正纯量曲率流形的分类，还有紧流形的山边问题（Yamabe Problem）。理察努力攻克后面的课题，终于在1984年成功了，这是他的一项主要成就。1982年我们在高研院讲课，现在到了圣迭戈便继续下去。在这课上讲述的是我们原创的工作，其中包含尚未发表的想法。有时我们工作过了午夜，为的就是准备次日的课。
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我们要找人好好做笔记，把课上的内容保存下来，以便最终整理成两本书：《微分几何讲义》和《调和映射讲义》，打算几年后出版。由于总希望帮助中国的学者来美国访问，让他们既能体验一下研究的气氛，同时又能挣点钱，我便向杨乐打听有无适当的人选。中科院有位姓许的研究人员毛遂自荐。为了这份差事，我付了超过一年的酬劳给他，后来才知犯了大错。许对数学虽然不算外行，却追不上我们的进度，很多时候听不明白，可他又不愿意向理察或我求教。有时，他会私底下问我的学生，但他们对他并不友好，或许觉得他年纪太大，又或许他们不愿花时间。
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最后，他整理出来的讲义全无价值，这对理察和我是一大打击。我们并没有把所有东西记下来，到了发现许的讲义不能用时，要重新再做一次为时已晚了。
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到了许要向中科院呈交进展报告时，事情变得更糟了。为了掩饰未能把工作做妥，他把报告变成对我的攻击，说我图谋反对陈先生，又说我想营结他所谓的“丘党”，专门和我的老师作对。其做法是如此拙劣，中科院的人都看出他无中生有。杨乐知道后非常意外，他把许的报告信件给我看了，并且对派遣他来一事道歉，不久许就回去了。
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或是命中注定，时不时就遇上这类疯狂的事。幸好，上天做出补偿，我在UCSD工作开展得很顺利。一直以来，我都喜欢理察在我身边一起工作，我们的兴趣和思想方式都很合拍，合作非常成功，他是我最好的合作者。弗里德曼不久前才完成有关四维庞加莱猜想的著名论文，他有时也参与讨论，带来新鲜感和独到的见解。
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汉密尔顿的办公室就在我的旁边，我们常常聊天，这样的安排可真不错。我们谈到了一年多前我和李伟光的工作，那叫李—丘不等式。伟光和我研究了一条和几何流有关的方程，它描述热或其他变量在曲面上随着时间变化的传播。我告诉汉密尔顿，“李—丘估计”可以用来研究里奇流中可能形成的奇点，奇点就是在空间某处挤压成的尖刺或折叠，更重要的是，它可以用来把奇点光滑化。我说服他这方法对于求解三维的庞加莱猜想或许是关键的一步。不过，要用上李—丘不等式，先要把它推广到更复杂、更非线性的里奇流上去。
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汉密尔顿花了差不多六年时间才把工作完成了，这是求解庞加莱猜想道路上关键的一步。我的好几位学生，包括曹怀东和周培能，都跟随汉密尔顿研究里奇流中的问题。