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在因特网出现之前的岁月里，曾经有过保罗·爱多士这么一个人，他手提一个装满最新论文的提包，而他的脑子里则填满了最新的小道消息与数学界最惊人的新闻。他知道每一个人：他们对什么感兴趣；他们有什么猜想，有什么证明或正在证明什么；他们的电话号码；他们的妻儿与宠物的名字与年龄，以及一些更多的事情。他可以凭记忆说出有一条定理与你正欲证明的结果相类似，已于1922年登在某本偏僻的俄文杂志上。又如当他在华沙遇见一个数学家，就立刻跟他继续两年前的一次谈话。在冷战最严峻的年代，凭着爱多士的名声，他可以自由出入铁幕，所以他是联系东西方的重要人物。
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1938年，当欧洲已处在战争的边缘时，爱多士逃亡到美国并开始他的数学之旅。这本书记载了他的那些冒险故事。因为爱多士在各处搞数学，所以这些故事也是数学世界——一个外界实际上不了解的世界——的故事。在数学界之外众所周知的数学家可以说凤毛麟角。今天，大多数人唯一能叫得出名字的数学家是西奥多·卡钦斯基(4)。高斯、黎曼（Riemann）、康托尔（Cantor）及欧拉（Euler）的名字之于数学界，犹如莎士比亚之于文学家和莫扎特之于音乐家，但在数学界和科学界之外，这些名字却鲜为人知。
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爱多士是经常乘坐飞机的旅行者，但他真正的旅行却是其心路历程。爱多士细细安排生活，使自己有尽可能多的时间进行心灵之旅，所以一本关于爱多士的真正传记应该于数学的柏拉图世界和现实世界花费几乎同样多的篇幅。对于门外汉来说，这无疑是一件可怕的事情。幸好，许多令爱多士着迷的想法只要具有高中数学水平即可掌握。当然，爱多士著名的证明与猜想是较难理解的。但对于读者来说，不需要关注太多。诚如拉尔夫·博厄斯（Ralph Boas）所写：“只有职业数学家能从证明中了解一些东西，其他人则从说明来了解。”正如我们不必了解古尔德(5)是怎样弹奏每一个困难的音节，也能被他表演的《哥德堡变奏曲》所迷醉一样，要体会爱多士数学的优美，也不一定要了解他那些美妙证明的细节。爱多士的工作特性是这样的，尽管他的证明很难，但他提出的内容却非常易于了解。爱多士常常给钱奖励那些解决了他所提出问题的人。有一些问题很容易被本书的读者所了解——或者甚至解决。诚如爱多士指出的，那些决定尝试解决爱多士问题的人需被告诫，考虑到解决一个问题所需的时间，现金奖励很难超过最低工资标准，真正的奖励是分享爱多士的博学广知的快乐以及因为看懂了不朽数学著作中的一页而得到的欢愉。
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(1)洛厄尔（Lowell）和卡伯特（Cabot）均为美国显赫姓氏。——译者
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(2)拉马努詹（Srinivasa Ramanujan，1887—1920），印度数学家，对解析数论有重要贡献。——译者
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(3)沃尔夫奖（Wolf），国际数学界的一个重要奖项。——译者
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(4)西奥多·卡钦斯基（Theodore Kaczynski，1942— ），16岁读哈佛的数学神童，17年连环爆炸案的主谋，反科技主义恐怖分子。——译者
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(5)古尔德（Glenn Gould，1932—1982），加拿大著名钢琴家。——译者
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第二章 证明
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数学是对现实最成功的超越，而当它反过来改善我们力图摆脱的同一现实时，就更令人感到神奇和陶醉了。所有其他逃避现实的方式——性、毒品及诸如此类的嗜好——相较而言都不过是一时之悦。当数学家们迫使世界服从他们的想象所创造的定律时，他们会因自身的成功而充满胜利的喜悦。世界由于数学家的智力劳动而发生了永久性的变化，数学家的创造性成果所导致的精确性，使他们信心百倍，别无他求。
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——麻省理工学院数学家罗塔（Gian-Carlo Rota）
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安德鲁·瓦佐尼（Andrew Vazsonyi）14岁时，正值两次世界大战之间的年月，他在布达佩斯父亲的鞋店后屋里度过了日日夜夜，不顾其他的需求与责任，一页又一页地填满图表与方程，一个接一个地解决数学问题。他迷上了数学。“我完全上瘾了，”他后来回忆道，“这是最恰当的形容词了。”
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痴迷数学，这在年轻人中是屡见不鲜的。数学，像音乐一样，存在于一个形、关系与美的独立世界中，这就是为什么历史上数学神童和音乐神童层出不穷，学步的律师和年少的证券经纪人相对而言却寥若晨星。年幼的儿童，即使还不能穿越马路，也可以探索无穷的数学空间。在20世纪头几十年的匈牙利，对数学与科学的痴迷曾经成为一种时尚。结果产生了一代杰出的科学家和数学家，他们的工作改变了世界。其中一些人如约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）、莱奥·西拉德（Leo Szilard）和爱德华·特勒（Edward Teller），他们的理论思考导致了像原子弹和电子计算机这样的具体成就，结果使他们在学术界之外也赫赫有名。与他们相比，瓦佐尼的一位邻居在神秘的数学世界之外名气就没那么大。这是一个灰眼睛的年轻人，名叫保罗·爱多士，他后来成为数学史上最富有创造性和启发性的数学家之一。
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瓦佐尼当时还不认识大他3岁的爱多士，不过他已听说过爱多士的名字。在20世纪20—30年代，布达佩斯是一个有100多万人口的繁华国际都市，但对于狭小而有影响的犹太人圈子来说不过是座小城。瓦佐尼的父亲拜访了爱多士的父亲，告诉他说自己的儿子夜以继日地钻研数学问题并希望能会见保罗。于是1930年的一个午后，有人砰砰敲响了鞋店的大门。
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女店员凯茜（Kathy）吓了一跳。从来没有人在这个时候来敲鞋店的门。她去开了门，一个瘦小精悍的男孩一闪而进，其步态使她想起了猩猩。凯茜把他引到后屋，安德鲁正在那里埋头苦读呢。
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“给我一个4位数。”爱多士以这样一道命令代替了初次见面的寒暄。瓦佐尼吓了一跳，不过这是一个简单的问题。“2532。”瓦佐尼随口说道。
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“它的平方是6 411 024。对不起，我年纪大了，不能告诉你它的立方数是多少。”爱多士当时才17岁，却已经把自己年老衰退这话挂在嘴边多年了。
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“你知道多少种毕达哥拉斯定理的证法？”这是爱多士的下一个问题。瓦佐尼知道这个与直角三角形边长有关的著名定理，每个中学生都知道这条定理。他也知道一种证明该定理的方法，但只知道一种。谁需要更多的证明呢？“我知道37种证法。”爱多士宣称。
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瓦佐尼60多年以后回忆道，他感到惊奇的是爱多士并非在吹牛。“这种说法对他是不适用的。”瓦佐尼解释说。爱多士就像是一支探险队的队长，在登上崎岖的征程去探索未知的国土之前，要仔细地检查自己的装备、供给和同伴们的战斗力，不过他当时主要是想决定什么样的数学领域最适合他和瓦佐尼共同探讨。在确信他这位同伴足以胜任这种数学旅行之后，爱多士便急忙勾画了康托尔的一条著名而又十分恼人的定理的证明轮廓，这定理出人意料地一举揭示了一个完全未知的领域——无穷中的无穷。爱多士就这样漫不经意地将一颗与存在有关的炸弹抛到了莫名其妙的安德鲁·瓦佐尼面前，然后说道：“我该走了。”他一只脚已跨出房门，去开始另一次数学旅行了。
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多瑙河静静地流淌着，却从来不是蓝色的，这条半英里宽的河将布达佩斯按词源分成了两半：布达和佩斯。在山丘起伏、林木葱茏的布达这一边，皇宫高耸在悬崖上，中央是一座萨沃伊的尤金亲王的巨大骑马雕像，这位亲王在1686年从土耳其人手中收复了布达。从这里居高临下，可以眺望通往佩斯的多瑙河大桥的佳境。这座飞架两岸的大桥，桥身呈优美的悬链线，就像是几何书中的图形。在世纪之交，银行家、商人、艺术家和知识分子群集于环绕佩斯城的宽广大街，或竞相乘坐欧洲的第一条地铁。仅在1890年至1900年间，布达佩斯的人口增加了40%，超过了75万，这使它成为欧洲的第六大城市。因为布达佩斯热闹的咖啡馆、林荫大街、公园和金融交易场所，游客们称它为多瑙河上的小巴黎。随着岁月流逝人们才渐渐发现，当布达佩斯的咖啡馆生意兴隆之时，那里的妇产医院犹如福特装配线一样正在生产出一批批的天才。
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匈牙利经济与文化的繁荣始于1867年的奥匈协定和由此建立的奥地利-匈牙利二元君主政体。根据这一协议，匈牙利从奥地利统治下获得了某种程度的独立；奥地利帝国变成了奥匈帝国。工业时代的机器和资本主义的机制以惊人的速度改变着匈牙利。“这些机制的操纵经营者大多是犹太人，”历史学家理查德·罗德斯（Richard Rhodes）指出，“这是得益于犹太人的雄心勃勃和精明能干。”二元君主体制建立后不久，反犹太的歧视性法律被取消了，一切公民的和政治的职责展现在犹太人面前，随之而来的是一个犹太移民热潮，与当时犹太人从俄国向纽约的移民潮几乎同时发生。
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政治权力仍然掌握在贵族手中，他们对于几乎占一半人口的其他非匈牙利少数民族的漠视，使这些人中有三分之一直到1918年依然是文盲，大多数人被束缚在土地上。那些匈牙利贵族们不屑沾手经商，于是便在犹太人中寻找合伙。到1904年，占人口总数约5%的匈牙利犹太人，却占据了全匈牙利一半左右的律师与商人、60%的医生和80%的金融家的职位。布达佩斯的犹太人在这个国家的艺术、文学、音乐和科学生活中也占据着主导的地位。这一切致使不断增加的反犹人士给布达佩斯起了一个贬称“犹达佩斯”（Judapest）。
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甚嚣尘上的反犹势力后来迫使匈牙利社会许多最杰出的人物逃离自己的国家。一些最杰出的科学家与数学家，他们的思想与发明曾经帮助了这个国家的形成，现在也加入了这股移民的浪潮。其中比较有名的有莱奥·西拉德，他是最先认识到链式反应可以释放原子能的科学家；冯·诺伊曼，电子计算机和博弈论的发明人；爱德华·特勒，氢弹之父。在科学界之外不太有名但同样有影响的人物有：西奥多·冯·卡尔曼（Theodor von Kármán），超音速飞机之父；乔治·德·赫维西（George de Hevesy），他由于发明同位素跟踪技术而荣获诺贝尔奖，该发明使几乎所有的科学领域都受到了革命性的冲击；尤金·魏格纳（Eugene Wigner），他对量子力学基础的探讨为他赢得了诺贝尔奖。
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