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“从进化论的角度看，儿童如果具有学习学校数学的先天智力准备，那将是出人意料的。”平克写道。因为这些数学是在某些近代文化中最近才发展起来的，它们产生颇晚，还来不及在我们的基因中形成遗传密码。学校数学是文化演进的产物，它要求诸如语言、阅读、书写等扩充人类智能的工具的发展。因此超越最初的直觉来学习数学是一件非常艰难的事情。“没有对难以掌握的数学专长的尊重（这在其他一些文化中并不少见），”平克说，“这种专长是不可能开花结果的。”数学专长在匈牙利比世界上任何其他地方都更受尊重，而在爱多士家又比匈牙利几乎任何其他地方都更受尊重。当保罗的数学才华刚刚崭露头角时，他就受到了大量的鼓励，以促使其开花结果。
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在保罗4岁时，有一天，一位客人在看了保罗当场心算他已活过的秒数以及其他一些数学表演后，感到十分惊讶，便决定难一难这个孩子。“100减去250等于多少？”这位客人问。
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保罗静默了片刻，暂时迷失在一个奇妙的天地里。但他很快找到了答案，高兴地喊出来：“比0少150！”这看来是一件小事，但在以前并没有人向保罗介绍过负数，而负数这一概念曾引起数学家和哲学家们数千年的激烈争论。保罗在顷刻间便得出结论，认为必定存在着与正整数相反的另一串数列。更令人印象深刻的是，他高兴地意识到了这一事实的重要性，他的数学玩具箱由于增加了负数而忽然变得无限巨大。“这是一个独立的发现。”爱多士不无骄傲地解释说。
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早些时代的人如若知道保罗的这一发现，大概会感到不可思议。根据约翰·康韦（John Conway）和理查德·盖伊（Richard Guy）所说：“当负数刚被提出的时候，它们被认为是不可能的数。-3只苹果是什么意思呢？-3当然不是‘真正’的数！但如今人们对于负的温度和负的银行存款余额这类说法就不会觉得不合理了。”数学家利奥波德·克罗内克尔（Leopold Kronecker）曾经说过：“上帝创造了整数，其余的一切都是人的工作。”这“其余的”也成为保罗·爱多士一生的工作对象；在那一天，他成了一名数学家。
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数学家的活动使外界感到神秘。人们经常猜想数学家们整天冥思苦想的是数。许多数学家确是如此，但绝不是所有的数学家。更一般地说——借用数学家们特别喜欢的语言——数学家研究“数学对象”的性质与相互关系。要请一位数学家来确切地解释什么是“数学对象”，这有点像请一位诗人解释什么是诗歌，或让音乐家解释什么是爵士乐一样。关于最后的这个问题，路易斯·阿姆斯特朗(2)回答道：“如果你一定要问，也绝不会知道答案。”
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诗人和音乐家的激情与鉴赏力是从儿歌与小调开始的，而数学家的热情则始于计数。数是最早的和最简单的数学对象。
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最早的数学家已经湮没在时间的长河之中，然而苏美尔的泥板文书却清楚地表明了人类创造数学的冲动可以追溯到遥远的古代。数可以被用来计数牛群，丈量土地和编制历法。最初人们只需要整数；没有一个牧羊人会数出几分之一只羊。但土地、日子以及德拉克马(3)是可以划分的，分数——整数之比——曾使古代的学童们感到繁难。数概念的扩展构成了数学史的重要部分。当4岁的保罗·爱多士独立地发现负数时，他实际上是重演了古代数学史的某个片段。
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数可能是为了制订日历和从事商业而发明的，但对古人来说它们同时也揭示了宇宙的模式。在数字神秘主义者手中，数被用来构建各种奇异的宇宙模型，这些模型似乎解释了宇宙的有序性，虽然按现代观点看可能是歪曲的解释。例如，据古希腊作家普鲁塔克记载，埃及坚持认为奥西里斯(4)之死发生在阴历17日，是月亏之时。毕达哥拉斯也憎恨17这个数，这不仅是因为它与奥西里斯之死有关，而且因为他通过一种古怪的分析证明了这个数在算术上是有缺陷的。他解释说，17这个数的问题在于它“介于正方形数16与长方形数18之间，而这两个数是平面数中仅有的使周长与其所围面积相等的数”。对毕达哥拉斯来说，所有的数都有几何意义；平面数表示边长为整数的长方形和正方形的面积。一个边长为4个单位的正方形面积为4×4=16，周长则为4+4+4+4=16。一个3×6的长方形的面积是18，其周长为6+3+6+3=18。正如毕达哥拉斯正确地观察到的那样，它们是具有这种性质的仅有的两个平面数。现代数学家会把这类事情看作是趣味代数练习。但毕达哥拉斯却认为这样的数字模型反映了宇宙的设计。一位历史学家评论说，由于对这类数字戏法的癖好，毕达哥拉斯可以说是“百分之十的天才，百分之九十的胡诌”，但毕达哥拉斯的天才却导致了近代数学的诞生。
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毕达哥拉斯于公元前580年左右出生于希腊的萨摩斯岛。他后来成为一名四处游历的学者，足迹遍及埃及、巴比伦，也许还到过印度。他可能参观过古代世界七大奇迹的大多数地方，接触了那里的许多神秘教义和宇宙学说。回国后他在意大利南部建立了一个秘密的数学家与神秘主义者团体。毕达哥拉斯学派的人过着禁欲苦行的生活，不沾肉食，甚至连豆子也不吃，因为它形状像睾丸。毕达哥拉斯学派的口号是：“万物皆数。”他们所谓的数是指整数及由整数之比组成的分数。现代术语也尊奉这一信条；这些数在今天称为“有理数”。毕达哥拉斯学派崇拜他们的数并相信这些数具有神奇的性质。他们有许多看法确实是“胡诌”。然而毕达哥拉斯及其追随者对有理性的崇拜导致了他们最伟大的成就，同时也使他们最终蒙受了耻辱。
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毕达哥拉斯学派所知道的大部分数学在古代世界已酝酿了1 000多年。实用几何发展起来的一套技巧，可以帮助人们丈量田地、修筑寺庙和编制历法，这一切都做得很漂亮。例如毕达哥拉斯最负盛名的命题，“毕达哥拉斯定理”，对巴比伦人来说是早已经知晓的事实。这条定理备受中学几何教师的青睐，《绿野仙踪》故事中的稻草人却将它说走了样。
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图2-1 现代所知最古老的数论文献，Plimpton 322：一块刻于公元前1900至前1600年间的巴比伦泥板文书。该泥板书包含了一张所谓的毕达哥拉斯三元数组表，毕达哥拉斯三元数组是指各边数皆为整数的直角三角形的边长，诸如3、4和5或5、12和13等。
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20世纪20年代，考古学家们在巴比伦古城森克勒（Senkereh）挖掘出一块刻有数字的泥板文书，这块泥板文书的年代被鉴定在公元前1900至前1600年之间。人们起初以为它是某种商业账目，但1945年奥托·诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）和亚伯拉罕·萨克斯（Abraham Sachs）注意到那些数字实际上是“毕达哥拉斯三元数组”，即可以作为一个直角三角形三条边的整数组。根据毕达哥拉斯定理，一个直角三角形两直角边的平方之和等于其斜边平方。因此如果一个直角三角形的直角边是3和4英寸（这里单位是不重要的），其斜边必为5英寸，因为32+42=9+16=25=52。数3、4、5构成最小的毕达哥拉斯三元数。不难验证出5、12和13是另一组毕达哥拉斯三元数，7、24和25也是。诺伊格鲍尔与萨克斯解读的这块泥板文书现称“Plimpton 322”，总共包含了15组毕达哥拉斯三元数，这些数都是用六十进制写出来的，虽然巴比伦人也像我们一样有10个手指。我们今天在某些场合还继续沿用六十进制，如将小时分成分、秒，将圆分成360度等。这块泥板文书还包括在某些条件下毕达哥拉斯三元数的一个完整分类。在毕达哥拉斯写下毕达哥拉斯定理之前1 000多年，巴比伦人已清楚地知道了这条定理。那么为什么不叫它“巴比伦定理”呢？难道只是因为毕达哥拉斯有一个较好的出版代理人吗？
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毕达哥拉斯具有巴比伦人所没有的东西；他有一个证明。在毕达哥拉斯以前，假设和推导被混合在一起，就像一杯怪味的鸡尾酒。观察与启发是数学的基础，但它们在前毕达哥拉斯时代也被交织成一团乱麻。毕达哥拉斯改变了这一切，他坚持认为数学必须是一个从一组公理——在他看来无可争辩的正确命题——出发，借助逻辑法则而得出不容置疑的结论的过程。证明的思想是毕达哥拉斯对数学最重要的贡献；虽然一代代数学家一直在不断完善他的概念，但毕达哥拉斯的基本思想始终是推动数学进步的动力。巴比伦人可能已经通过测量大量具体的三角形猜测到了直角三角形各边之间的关系，他们将量得的直角边长的平方加起来，看看和数是否等于斜边的平方。然而无论他们试画了多少个三角形，也无论他们的测量有多精确，他们也绝不会知道他们的定律是否对所有可能的三角形都正确。毕达哥拉斯从一些数千年来没有人怀疑的假设出发，使用了一些无可争辩的逻辑法则，能够证明巴比伦人所观察到的这一关系对宇宙中所有的三角形都精确地成立。演绎法的使用有时被归功于毕达哥拉斯的前人，希腊几何学家米利都的泰勒斯（Thales of Miletus）。毕达哥拉斯使用这种方法，纯粹依靠逻辑确认了巴比伦人的观察结果：他证明了一条定理。年轻的保罗·爱多士曾兴高采烈地告诉安德鲁·瓦佐尼说他知道37种证明毕达哥拉斯定理的方法，并且每一种都很优美。然而一种证明就够了；一个证明改变了一切。
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毕达哥拉斯利用泰勒斯宝贵的智力成果——逻辑证明的方法——来考察他的数字宇宙的基础。结果却是一场悲剧。使毕达哥拉斯遭受挫折的问题是在他考虑一个简单的直角三角形时引起的，这个直角三角形的两条直角边长度都等于一个单位。这个三角形的斜边长是多少？使用毕达哥拉斯定理就行，没有比这更简单的了。1的平方加1的平方等于2。因此斜边的平方等于2。这就是说斜边长等于2的平方根。根据毕达哥拉斯，这个数应该像所有的数一样是分数，即两个整数之比。那么确切地说，它们是什么样的分数呢？
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为了回答这个问题，你可以试着做一做毕达哥拉斯之前几代数学家所做的事情：猜测。一块耶鲁大学收藏的编号为7289的巴比伦泥板文书就记载着关于2的平方根的惊人的猜测：它等于1+24/60+51/602+10/603=1.414 296 296 296。没有人知道巴比伦人是通过什么样的天才的逻辑之链而获得这一结果的，但只要触摸一下计算器的键盘，就可以证明这是一个极好的近似值——2的平方根的精确值接近于1.414 213 562 373。巴比伦人得到的即使不是精确值，那也是非常近似的值。使毕达哥拉斯惊恐交加的是，他证明了：近似值是你可以得到的全部！不管你思索了多久，也不管你有多聪明，你也绝不会找到任何一个分数，它与自己相乘恰好等于2。由于这一证明，毕达哥拉斯所夸耀的，完全建立在分数即有理数基础之上的数字宇宙毁于一旦。像参孙(5)一样，正是他自身的力量——他的证明方法所赋予他的力量——摧毁了他自己。
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通过纯逻辑的推理，毕达哥拉斯被迫承认他所信奉的关于宇宙世界的一切原来是错误的。他那万物皆数的信条甚至不能被用来测量一个正方形的对角线！爱多士在发现正数尚不足以描述他的宇宙世界时显得欢欣鼓舞，但数对爱多士来说只不过是玩具。对毕达哥拉斯及其门生来说，数却意味着一切，正因为如此，他们感到惊慌失措。他们封藏书本，掩盖真相。但这个证明太漂亮了，很难保守秘密。传说有一个嘴巴不严的徒弟泄露了这个证明，并为自己的轻率而付出了生命的代价。根据公元5世纪的一位学者普洛克鲁斯·狄奥多库斯（Proclus Diadochus）的记载：“这个有罪的人，他只是偶尔触及并泄露了天机，就被抛到了一个让他永远受海浪冲击的地方。”
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毕达哥拉斯这个漂亮的证明是爱多士所谓“天书证明”的一个例子。“上帝有一本无穷尽的天书，其中记载着所有的定理和它们的最佳证明。”爱多士总喜欢这样说。“有时我会对别人说，‘只要你相信这本天书，就不一定非要相信上帝’。当然，”他补充道，“我并不真相信有这样的天书存在。”也许他确实不相信有这样一本天书，但对爱多士来说，最高的赞誉莫过于宣布一个证明“直接来自天书”了。
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不管是否存在，关于最佳证明之书的概念确是推动爱多士数学之旅的哲学核心。按照爱多士的看法，最佳证明就是最简单最优美的证明，虽然他承认“在某些情况下很难给出清楚的定义”。伟大的英国数学家哈代（G. H. Hardy）曾宣布：“美是首要的标准，丑陋的数学在世界上是不可能有永久立足之地的。”哈代同样是在循环论证。“美”可能是数学家们所不喜欢的那种含糊而难以定义的词汇之一。从逻辑上讲，因为所有的证明都是同样正确的，同一条定理的一种证明应该与另一种证明一样的好。一位曾论述过证明及数学美的概念的数学家和哲学家吉安-卡洛·罗塔指出：“‘正确的证明’这种说法是多余的，数学证明不应当分等级。一连串的论证步骤要么构成了一个证明，要么毫无意义。”尽管如此，仍然有一些证明，由于其权威性、清晰性、必然性以及数学家们有时称之为“优美”的简洁性，而被宣布为正确的证明。一个伟大的证明不仅要确立所论问题的真实性，而且要切中问题的核心，要富有启发性。
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1993年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明了费马大定理，这条定理在两个多世纪的时间里曾使最优秀的数学家——业余的和职业的数学家都一样——败北而去。很少有人怀疑费马大定理，这定理关系到通过推广毕达哥拉斯定理而得到的一个方程的解；几乎也没有人认为这条定理具有任何实际的意义。怀尔斯的证明被誉为重大成就，这不仅是因为他最终论证了费马大定理的真实性，而且还在于他在这一过程中揭示了曾经被认为互不相干的数学领域之间的联系，并提供了新的技巧帮助数学家们解决他们真正关注的问题。
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怀尔斯的证明是漂亮的，至少对于世界上为数不多的能看懂这个证明的数学家来说是如此。但它却不像是属于“天书”的那种证明。简短本身并不是“天书证明”所必要的特征。许多“天书证明”是长的，但却不会超过它们所需要的长度。深度，而不是长度，才是真正的度量。怀尔斯的证明长达数百页，其中有些论证当数学家们一旦理解其精神实质后很可能会得到简化。“一条定理的第一个证明往往会显得冗长繁复，这是可以原谅的。”爱多士曾这样谈论过他本人撰写过的一些冗长的证明。随着时间的推移，更加简明和富有启发性的证法就会应运而生。马克·吐温了解这种现象，他曾经向一位记者道歉说：“我没有时间给您写短信，只好给您写一封长信。”怀尔斯的证明将被未来几代的数学家所精炼，并放射出启发人的光芒。也许有一天这一证明甚至会被改造成适合收进“天书”的形式，但即便如此，它也不可能使专家以外的人受到启发。
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幸好，许多属于“天书”的证明可以被任何能记得高中代数知识和具有爱多士所谓“敞开”大脑的人所理解。读懂这样一个证明有点像看一幅三维照片，乍一瞥似乎只是一张画满云纹的纸。放松你的眼睛，敞开你的思维，抛除你的偏见，尽可能集中精神。一会儿以后，纸面似乎在分解浮动，显现出一只海豚或一头恐龙的三维图像。这是从无形到有形的魔术般突现的一瞬。做数学研究也会有类似感觉。
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虽然每一个数学家对于什么样的证明可以被收进“天书”会有不同的个人选择，但他们全都同意毕达哥拉斯关于2的平方根是一个无理数的证明应该属于“天书”，并且也许应该出现在第一页。这一证明思路敏捷，令人惊奇，就像是一个高明的玩笑或魔术师的戏法，同时又传达了数学研究的某种神韵。这可能就是爱多士在20世纪70年代有一天决定向安德鲁·瓦佐尼的妻子劳拉（Laura）解释毕达哥拉斯这个证明的原因。
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劳拉是一位音乐家，她当时正在学习数学，不过仅仅是为了取得高中毕业文凭而已。因此当正在她家做客的爱多士对她说“劳拉，我想给您解释一下毕达哥拉斯的丑闻”时，她多少有点感到惊讶。
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“好吧，爱多士。”劳拉回答道，心里却有点打鼓。他们经常在一起聊天，历史、政治、爱多士家的洗衣店，无话不谈，但还从来没有讨论过数学。