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毕达哥拉斯这个漂亮的证明是爱多士所谓“天书证明”的一个例子。“上帝有一本无穷尽的天书，其中记载着所有的定理和它们的最佳证明。”爱多士总喜欢这样说。“有时我会对别人说，‘只要你相信这本天书，就不一定非要相信上帝’。当然，”他补充道，“我并不真相信有这样的天书存在。”也许他确实不相信有这样一本天书，但对爱多士来说，最高的赞誉莫过于宣布一个证明“直接来自天书”了。
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不管是否存在，关于最佳证明之书的概念确是推动爱多士数学之旅的哲学核心。按照爱多士的看法，最佳证明就是最简单最优美的证明，虽然他承认“在某些情况下很难给出清楚的定义”。伟大的英国数学家哈代（G. H. Hardy）曾宣布：“美是首要的标准，丑陋的数学在世界上是不可能有永久立足之地的。”哈代同样是在循环论证。“美”可能是数学家们所不喜欢的那种含糊而难以定义的词汇之一。从逻辑上讲，因为所有的证明都是同样正确的，同一条定理的一种证明应该与另一种证明一样的好。一位曾论述过证明及数学美的概念的数学家和哲学家吉安-卡洛·罗塔指出：“‘正确的证明’这种说法是多余的，数学证明不应当分等级。一连串的论证步骤要么构成了一个证明，要么毫无意义。”尽管如此，仍然有一些证明，由于其权威性、清晰性、必然性以及数学家们有时称之为“优美”的简洁性，而被宣布为正确的证明。一个伟大的证明不仅要确立所论问题的真实性，而且要切中问题的核心，要富有启发性。
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1993年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明了费马大定理，这条定理在两个多世纪的时间里曾使最优秀的数学家——业余的和职业的数学家都一样——败北而去。很少有人怀疑费马大定理，这定理关系到通过推广毕达哥拉斯定理而得到的一个方程的解；几乎也没有人认为这条定理具有任何实际的意义。怀尔斯的证明被誉为重大成就，这不仅是因为他最终论证了费马大定理的真实性，而且还在于他在这一过程中揭示了曾经被认为互不相干的数学领域之间的联系，并提供了新的技巧帮助数学家们解决他们真正关注的问题。
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怀尔斯的证明是漂亮的，至少对于世界上为数不多的能看懂这个证明的数学家来说是如此。但它却不像是属于“天书”的那种证明。简短本身并不是“天书证明”所必要的特征。许多“天书证明”是长的，但却不会超过它们所需要的长度。深度，而不是长度，才是真正的度量。怀尔斯的证明长达数百页，其中有些论证当数学家们一旦理解其精神实质后很可能会得到简化。“一条定理的第一个证明往往会显得冗长繁复，这是可以原谅的。”爱多士曾这样谈论过他本人撰写过的一些冗长的证明。随着时间的推移，更加简明和富有启发性的证法就会应运而生。马克·吐温了解这种现象，他曾经向一位记者道歉说：“我没有时间给您写短信，只好给您写一封长信。”怀尔斯的证明将被未来几代的数学家所精炼，并放射出启发人的光芒。也许有一天这一证明甚至会被改造成适合收进“天书”的形式，但即便如此，它也不可能使专家以外的人受到启发。
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幸好，许多属于“天书”的证明可以被任何能记得高中代数知识和具有爱多士所谓“敞开”大脑的人所理解。读懂这样一个证明有点像看一幅三维照片，乍一瞥似乎只是一张画满云纹的纸。放松你的眼睛，敞开你的思维，抛除你的偏见，尽可能集中精神。一会儿以后，纸面似乎在分解浮动，显现出一只海豚或一头恐龙的三维图像。这是从无形到有形的魔术般突现的一瞬。做数学研究也会有类似感觉。
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虽然每一个数学家对于什么样的证明可以被收进“天书”会有不同的个人选择，但他们全都同意毕达哥拉斯关于2的平方根是一个无理数的证明应该属于“天书”，并且也许应该出现在第一页。这一证明思路敏捷，令人惊奇，就像是一个高明的玩笑或魔术师的戏法，同时又传达了数学研究的某种神韵。这可能就是爱多士在20世纪70年代有一天决定向安德鲁·瓦佐尼的妻子劳拉（Laura）解释毕达哥拉斯这个证明的原因。
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劳拉是一位音乐家，她当时正在学习数学，不过仅仅是为了取得高中毕业文凭而已。因此当正在她家做客的爱多士对她说“劳拉，我想给您解释一下毕达哥拉斯的丑闻”时，她多少有点感到惊讶。
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“好吧，爱多士。”劳拉回答道，心里却有点打鼓。他们经常在一起聊天，历史、政治、爱多士家的洗衣店，无话不谈，但还从来没有讨论过数学。
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爱多士取出一张白纸，并且说：“劳拉，如果您对哪一步不明白，请随时告诉我，我会解释清楚的，好吗？”劳拉点了点头，爱多士便开始用他那口音很重的英语慢慢地讲解起来。
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毕达哥拉斯的证明是从特别大胆的一着开始的，这是数学家们常用的一着：他假设他要证明的结论是错误的。“这是比象棋比赛中任何开局让棋都更高明的一着，”哈代解释说，因为，“一个棋手可以让出一个卒甚至牺牲一个更大的子，而数学家们让出的却是整盘比赛。”毕达哥拉斯从假定2的平方根是一个有理数开始。也就是说，他假定2的平方根是一个分数。
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下一步是要用符号来表达这个想法。说一个数是分数是什么意思呢？这容易回答：一个分数就是两个整数之比，如17/12或577/408。英文句子“2的平方根是有理数”于是可以用符号写成：
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字母a和b表示任意的两个整数。爱多士向劳拉说明，毕达哥拉斯同时要求将这个分数写成最简单形式。每个学生都知道，同一个分数可以有无限多种表达方式。例如17/12与34/24（上下同时乘以2）或51/36（上下同时乘以3）都表示同一个分数。当一个分数被写成最简式，它的分子与分母——在这里就是a和b——就没有公因子。
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因为分数被假定等于2的平方根，该分数的平方就应该等于2，这是一个数的平方根的本意。因此：
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两边同时乘以b2，这样重新调整后就得到：
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a2=2b2
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上述方程表示了一个明显的事实，即若一个分数等于2，那么其分子等于分母的2倍。但这还没完呢：分子a2必定是一个偶数，因为它是b2的2倍。b2的值在这里无关紧要，任一整数的2倍都是一个偶数。如果a2是偶数，那么a也必定是偶数；如果a是一个奇数，那么a2也必为奇数，因为任一奇数乘以一个奇数只能得到奇数。“对不对，劳拉？”爱多士问道，她点了点头。说a是一个偶数是什么意思呢？一个偶数就是一个可以被2整除的数，也就是说任何一个偶数都可以写成某个较小整数的2倍。如果a是一个偶数，它可以写成其他某个数的2倍，用c表示这个其他的数。因此a是偶数这一判断用符号表示就是
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a=2c
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我们真正感兴趣的是a2而不是a，但这并不成为问题。将上述方程两边平方，你将得到：
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a2=4c2
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换句话说，任何一个偶数的平方必定是4的倍数。但我们已经证明了a2等于b2的2倍。综上所述我们可以得出结论：
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2b2=4c2
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将此方程两边除以2得到：