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幸好，许多属于“天书”的证明可以被任何能记得高中代数知识和具有爱多士所谓“敞开”大脑的人所理解。读懂这样一个证明有点像看一幅三维照片，乍一瞥似乎只是一张画满云纹的纸。放松你的眼睛，敞开你的思维，抛除你的偏见，尽可能集中精神。一会儿以后，纸面似乎在分解浮动，显现出一只海豚或一头恐龙的三维图像。这是从无形到有形的魔术般突现的一瞬。做数学研究也会有类似感觉。
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虽然每一个数学家对于什么样的证明可以被收进“天书”会有不同的个人选择，但他们全都同意毕达哥拉斯关于2的平方根是一个无理数的证明应该属于“天书”，并且也许应该出现在第一页。这一证明思路敏捷，令人惊奇，就像是一个高明的玩笑或魔术师的戏法，同时又传达了数学研究的某种神韵。这可能就是爱多士在20世纪70年代有一天决定向安德鲁·瓦佐尼的妻子劳拉（Laura）解释毕达哥拉斯这个证明的原因。
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劳拉是一位音乐家，她当时正在学习数学，不过仅仅是为了取得高中毕业文凭而已。因此当正在她家做客的爱多士对她说“劳拉，我想给您解释一下毕达哥拉斯的丑闻”时，她多少有点感到惊讶。
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“好吧，爱多士。”劳拉回答道，心里却有点打鼓。他们经常在一起聊天，历史、政治、爱多士家的洗衣店，无话不谈，但还从来没有讨论过数学。
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爱多士取出一张白纸，并且说：“劳拉，如果您对哪一步不明白，请随时告诉我，我会解释清楚的，好吗？”劳拉点了点头，爱多士便开始用他那口音很重的英语慢慢地讲解起来。
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毕达哥拉斯的证明是从特别大胆的一着开始的，这是数学家们常用的一着：他假设他要证明的结论是错误的。“这是比象棋比赛中任何开局让棋都更高明的一着，”哈代解释说，因为，“一个棋手可以让出一个卒甚至牺牲一个更大的子，而数学家们让出的却是整盘比赛。”毕达哥拉斯从假定2的平方根是一个有理数开始。也就是说，他假定2的平方根是一个分数。
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下一步是要用符号来表达这个想法。说一个数是分数是什么意思呢？这容易回答：一个分数就是两个整数之比，如17/12或577/408。英文句子“2的平方根是有理数”于是可以用符号写成：
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字母a和b表示任意的两个整数。爱多士向劳拉说明，毕达哥拉斯同时要求将这个分数写成最简单形式。每个学生都知道，同一个分数可以有无限多种表达方式。例如17/12与34/24（上下同时乘以2）或51/36（上下同时乘以3）都表示同一个分数。当一个分数被写成最简式，它的分子与分母——在这里就是a和b——就没有公因子。
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因为分数被假定等于2的平方根，该分数的平方就应该等于2，这是一个数的平方根的本意。因此：
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两边同时乘以b2，这样重新调整后就得到：
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a2=2b2
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上述方程表示了一个明显的事实，即若一个分数等于2，那么其分子等于分母的2倍。但这还没完呢：分子a2必定是一个偶数，因为它是b2的2倍。b2的值在这里无关紧要，任一整数的2倍都是一个偶数。如果a2是偶数，那么a也必定是偶数；如果a是一个奇数，那么a2也必为奇数，因为任一奇数乘以一个奇数只能得到奇数。“对不对，劳拉？”爱多士问道，她点了点头。说a是一个偶数是什么意思呢？一个偶数就是一个可以被2整除的数，也就是说任何一个偶数都可以写成某个较小整数的2倍。如果a是一个偶数，它可以写成其他某个数的2倍，用c表示这个其他的数。因此a是偶数这一判断用符号表示就是
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a=2c
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我们真正感兴趣的是a2而不是a，但这并不成为问题。将上述方程两边平方，你将得到：
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a2=4c2
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换句话说，任何一个偶数的平方必定是4的倍数。但我们已经证明了a2等于b2的2倍。综上所述我们可以得出结论：
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2b2=4c2
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将此方程两边除以2得到：
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b2=2c2
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我们已经胜利在望了。这个方程的意思是说b2必为偶数，因为它是另外某个数的2倍。利用前面已经用过的推理，我们可以断言如果b2是偶数，则b也是偶数。到这一步，如果爱多士不欢呼一声“啊哈！”才怪呢，因为大功已经告成。我们已经证明了如果a/b等于2的平方根，那么a和b必定同为偶数。但a和b不能同时为偶数，因为我们一开始就强调了分数a/b是最简分数。一个分子分母都是偶数的分数绝不可能为最简分数，因为它的分子分母都可以被2整除。这是一个矛盾，说明我们最初的假设是错误的。
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“瞧！假设是错误的，2的平方根不可能是有理数。”爱多士胜利地宣布。
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但他的胜利稍纵即逝，因为劳拉不喜欢这一证明。她感到自己似乎受到了愚弄。爱多士生气地说：“我让你随时告诉我有哪一步不明白，可是你一句话也没说啊！”