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在n与2n之间恒有一个素数！
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爱多士关于切比雪夫定理的工作引起了匈牙利以外一些数学家的关注。他很快开始与其中的几位通信，这些人包括曼彻斯特的数论大家路易斯·莫德尔（Louis Mordell），剑桥的理查德·拉多（Richard Rado）与哈罗德·达文波特（Harold Davenport），以及柏林的伊赛·舒尔（Issai Schur）。舒尔立即认识到了爱多士的天才，并开始给自己班上的学生讲授爱多士关于切比雪夫定理的证明，当时爱多士还不满20岁。
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当爱多士证明了舒尔关于过剩数的一个猜想以后，舒尔对他的才华便更赏识有加。毕达哥拉斯在探索数字的完美性时，最先注意到了过剩数（或盈数）。在毕达哥拉斯看来，一个数的完美性反映在它的因数上。如果一个数等于所有比它小的因数之和，毕达哥拉斯则称之为完全数。例如6是一个完全数，因为它有因数1，2，3，而它们相加恰好等于6。欧几里得还证明梅森素数——形如2p-1的素数——可通过一个简单的公式而与偶完全数联系起来。没有人知道是否存在奇完全数，但经验告诉我们不存在奇完全数。
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一个数，如果它所有的因数相加之和小于它自身，就叫不足数（或亏数）；而如果它所有的因数之和大于它自身，就叫过剩数（或盈数）。所有的素数都是不足数，因为它们唯一比自身小的因数是1。9也是一个不足数，因为其因数1和3相加得4。12则是一个过剩数，因为其因数1，2，3，4，6相加得16。你可以容易地验证18也是一个过剩数。
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舒尔的猜想关系到过剩数在全体整数中分布的稠密程度。数学家们用密度的概念来比较数集的大小，包括无限大的数集之大小。例如，偶数集的大小为二分之一，因为恰好有一半的整数是偶数；5的倍数全体所成的集合密度为五分之一。虽然素数有无穷多个，但素数集的密度却是零！也就是说，素数在全体整数中的分布是如此稀疏，以至于随机地选出一个整数，这个数为素数的概率趋于零；绝大多数的数都不是素数。(8)舒尔的猜想是说，过剩数的密度大于零。或者粗略地说，过剩数确实过剩。
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爱多士给舒尔猜想找到了一个漂亮而基本的证明。这个证明具有一切好证明所共有的特性，将他进一步引向了所谓加性算术函数的重要工作。爱多士还用大量闲暇时间解决了舒尔提出的其他一些问题，以至于这位德国人称22岁的爱多士为“Zauberer von Budapest”——来自布达佩斯的魔术师。
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(1)匈牙利文“李子”。英文应作plum [plʌm]。——译者
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(2)托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679），英国著名政治哲学家，由于研究欧几里得《几何原本》而创始演绎法。——译者
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(3)约翰·奥布里（John Aubrey，1626—1697），英国作家，专门为同时代人写传记。——译者
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(4)实际上，只要对小于该数平方根的素数检验即可，这大大节省了劳动。如果一个数被大于其平方根的某数除，得到的是一个小于其平方根的数。例如，36的平方根是6。用小于6的数2去除36，就得到一个大于其平方根的数18。为了证明37是素数，只需用比6小的素数去除它即可，因为如果它有一个大于6的素因数，那么它也必有一个小于6的素因数。——原注
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(5)贝特朗假设，又称“贝特朗猜想”，指命题“n与2n之间必有一素数”。——译者
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(6)还有其他类似的与素数分布有关的猜想，但证明更为困难。例如，在两个相继平方数之间是否至少有一个素数？比方82与92之间是否有素数？猜想看来是对的，但却迄今未获证明。——原注
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(7)鲍伯·霍普（Bob Hope，1903—2003），美国著名喜剧演员。——译者
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(8)如我们在后面关于康托尔的讨论中将要看到的那样，两个具有不同密度的集合却可以大小相同。——原注
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第四章 幸福结局问题
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“我们数学家都有点儿古怪。”德国数论学家埃德蒙·兰道（Edmund Landau）1935年在剑桥大学遇见爱多士时说。这是爱多士（尽管他还年轻）不能不同意的一个观点，虽然他认为这种古怪与其说是麻烦，不如说是乐趣。事实上古怪不古怪对爱多士来说并无所谓；从其数学之旅一开始，爱多士就经常长途跋涉去会见每一个能够做出漂亮证明和猜想的人，他在这方面是如此锲而不舍。
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3年前，爱多士大学时代的一个朋友，在杰内拉利保险公司工作的桑多尔·凯梅尼（Sándor Kemény）给他介绍了一个名叫希东（S. Sidon）的合作者。“他是一个不错的数学家，”爱多士回忆道，“就是比常人古怪一些。实际上他是一个边缘精神分裂症患者。”希东是那么害羞，以至于说话的时候常常面对着墙壁，“但是当他谈到数学的时候却见识非凡。”希东敏锐的观察力给爱多士留下了深刻的印象，并且爱多士确信他的朋友保罗·图兰也有相同的看法。爱多士便来充当数学红娘了，他终其一生都常常致力于此且成果斐然。不幸的是，希东是一个很勉强的“新郎”。
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两个保罗——19岁的爱多士与22岁的图兰——两人突然出现在隐居的希东家门前的石阶上。他们叩门，门开了一道小缝，希东充满怀疑的目光从门缝里盯着这两位年轻的不速之客，他们解释了来访的原因。“请另找个时间再来访问吧，特别是请访问另外一个人。”希东说。“在匈牙利语中，这句话还蛮好听的。”爱多士指出，“kérem, jöjjenek máskor és különösen máshoz”这句话，以合适的口音拉长语调说出来时有一种相当悦耳的节奏。
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爱多士没有被赶走。最后希东“终于通情达理了”，他邀请这两位年轻数学家进去聊天。交谈的结果就是现在我们所知的“希东集”理论的诞生，在与图兰的一篇早期合作论文中，爱多士简要地发展了这个理论；显然，希东是少数几个爱多士不能拉来做合作者的数学家之一。
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在他们第一次会面时，希东问爱多士，能否证明他所描述的一组特殊性质的整数列确实存在。“我告诉他，那是一个很好的问题，我相信你是对的，我希望几天之内能给你答案。”19岁的爱多士吹牛说。后来他承认，他“有点儿太乐观了。我最后确实证明了，但却花了20年的时间”。几年之后希东死了，以至于他未能活着看到爱多士炫耀才能的证明。“实际上他死得有些蹊跷，”爱多士对他的讲座听众说，“他的死与贝热拉克(1)相似：一架梯子落在他身上砸断了他的腿，结果他在医院死于肺炎。”用表达友谊的典型方式，爱多士把自己迟到的证明献给希东以志纪念。(2)
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爱多士无限的精力，他对数学交谈、合作与交流的近乎贪婪的渴求，以及爱多士出名的个人癖性，这一切早在他的布达佩斯大学时代就已表现得很清楚。爱多士最早的合作者、比他年长几岁的塞凯赖什回忆说，当他第一次遇见爱多士时就“发现在他身上笼罩着一种令人迷惑的气息。不管你怎样说，他绝对是个神经质的人”。塞凯赖什回忆说，一次，爱多士与他的一群朋友在无名雕像下一起坐在凳子上，“不知何故他突然站了起来，急速地走过来走过去，然后坐回到凳子上。有一位老太太看到此事就把我叫到一边问，‘这小伙子怎么啦？’其实什么事都没有。我们正在讨论，他的头脑中可能突然想起了什么，于是跳起来把思绪整理好之后就回来了。他给旁观者一个非常古怪的印象……我想我们与他都做着正事。我们的行为完全是自然的，我们对此都能够接受”。
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