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如果这封来自穷乡僻壤一位无名小职员的信中既谦恭又自傲的态度起初使哈代感到好笑，接下来的10页信笺却使他大为吃惊。“对哈代来说，拉马努詹的这10页定理好像是一座奇异的丛林，其中的树木似曾相识，却又如此奇怪，似乎是来自另一个星球，”罗伯特·卡尼格尔（Robert Kanigel）在其出色的拉马努詹传《认识无限的人》中这样写道。像几乎所有活跃的数学家一样，哈代经常收到一些怪人寄来的邮件，这些人相信他们已解决了三等分角、化圆为方或其他某个早已被数学家们证明是不可解的问题。拉马努詹用他那大而整齐、清晰的字迹写出来的这些结果是“惊人的”，但却不是显然不可能的。相反，他的这些方程看来是正确的。
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要写出这些看来是真正的数学的方程并不是轻而易举的事情。数学家们对老科幻影片中常常出现的满黑板潦草的公式符号总是斥为胡言乱语而不屑一顾。然而，正如其朋友斯诺（C. P. Snow）所说，当哈代终于抽出时间来审阅拉马努詹的方程时，那些“杂乱无章的定理”使他既惊又敬，“这些定理他从来未见过，也从未想到过”。哈代把他的同事和主要合作者利特尔伍德（J. E. Littlewood）请到他在剑桥三一学院的书房，来帮他验证拉马努詹那些奇怪的定理。正如卡尼格尔所描写的那样，到午夜时分，两位数学家已经相信“他们是在审读一位数学天才的论文”。不久哈代和利特尔伍德筹得了一笔经费，并邀请拉马努詹来到剑桥。拉马努詹在剑桥度过了他一生剩下的短暂岁月，33岁时死于肺炎。他在剑桥完成了一批数量不多但却是历史性的论文，同时还留下了一些写满结果的笔记本，这些结果至今还不断被人引用研究。
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卡尔马建议爱多士去查阅一下拉马努詹对切比雪夫定理的证明。爱多士钻进图书馆，“在拉马努詹全集中找到了这一证明，我立即以极大的兴趣读了这个证明……两个证明非常相似，而我的证明的优点也许是更为算术化。”爱多士阅读拉马努詹论文的经历导致了他对印度的终身兴趣和对印度数学家的长期支持；同时还引出了一则他喜欢说的玩笑话，这则玩笑话反映了爱多士的一种固执的念头：“我想印度语是最好的语言，因为两个最大的魔鬼衰老和愚蠢在其中发音几乎相同。‘Buda’是老，‘Budu’是蠢。”
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爱多士关于切比雪夫定理的证明是一流的成果，对于一个18岁的大学新生而言尤其如此。但正如卡尔马指出的那样，这个证明已被拉马努詹捷足先登。不过爱多士的证明却包含了一些新思想，利用这些思想他很快就以一种全新的方式推广了贝特朗假设。爱多士不久就证明了：在任一大于7的整数与它的2倍数之间至少有2个素数。有趣的是，爱多士的证明同时还告诉了我们关于这些素数的某些性质。根据这条定理，其中至少有一个素数用4除余数为3，同时必有另一个素数用4除余数为1。例如在10和它的2倍数即20之间有素数11，13，17和19。其中11和19被4除余数为3，而13和17被4除余数为1。该定理以及一些相关的推论已足以构成一篇博士论文，而爱多士写出这篇论文时还只是一个二年级的本科生。所有这些成果还使他在数学家内森·法恩（Nathan Fine）所写的一首小诗中赢得了一席之地：
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切比雪夫说过的，我再说一遍，
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在n与2n之间恒有一个素数！
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爱多士关于切比雪夫定理的工作引起了匈牙利以外一些数学家的关注。他很快开始与其中的几位通信，这些人包括曼彻斯特的数论大家路易斯·莫德尔（Louis Mordell），剑桥的理查德·拉多（Richard Rado）与哈罗德·达文波特（Harold Davenport），以及柏林的伊赛·舒尔（Issai Schur）。舒尔立即认识到了爱多士的天才，并开始给自己班上的学生讲授爱多士关于切比雪夫定理的证明，当时爱多士还不满20岁。
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当爱多士证明了舒尔关于过剩数的一个猜想以后，舒尔对他的才华便更赏识有加。毕达哥拉斯在探索数字的完美性时，最先注意到了过剩数（或盈数）。在毕达哥拉斯看来，一个数的完美性反映在它的因数上。如果一个数等于所有比它小的因数之和，毕达哥拉斯则称之为完全数。例如6是一个完全数，因为它有因数1，2，3，而它们相加恰好等于6。欧几里得还证明梅森素数——形如2p-1的素数——可通过一个简单的公式而与偶完全数联系起来。没有人知道是否存在奇完全数，但经验告诉我们不存在奇完全数。
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一个数，如果它所有的因数相加之和小于它自身，就叫不足数（或亏数）；而如果它所有的因数之和大于它自身，就叫过剩数（或盈数）。所有的素数都是不足数，因为它们唯一比自身小的因数是1。9也是一个不足数，因为其因数1和3相加得4。12则是一个过剩数，因为其因数1，2，3，4，6相加得16。你可以容易地验证18也是一个过剩数。
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舒尔的猜想关系到过剩数在全体整数中分布的稠密程度。数学家们用密度的概念来比较数集的大小，包括无限大的数集之大小。例如，偶数集的大小为二分之一，因为恰好有一半的整数是偶数；5的倍数全体所成的集合密度为五分之一。虽然素数有无穷多个，但素数集的密度却是零！也就是说，素数在全体整数中的分布是如此稀疏，以至于随机地选出一个整数，这个数为素数的概率趋于零；绝大多数的数都不是素数。(8)舒尔的猜想是说，过剩数的密度大于零。或者粗略地说，过剩数确实过剩。
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爱多士给舒尔猜想找到了一个漂亮而基本的证明。这个证明具有一切好证明所共有的特性，将他进一步引向了所谓加性算术函数的重要工作。爱多士还用大量闲暇时间解决了舒尔提出的其他一些问题，以至于这位德国人称22岁的爱多士为“Zauberer von Budapest”——来自布达佩斯的魔术师。
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(1)匈牙利文“李子”。英文应作plum [plʌm]。——译者
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(2)托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679），英国著名政治哲学家，由于研究欧几里得《几何原本》而创始演绎法。——译者
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(3)约翰·奥布里（John Aubrey，1626—1697），英国作家，专门为同时代人写传记。——译者
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(4)实际上，只要对小于该数平方根的素数检验即可，这大大节省了劳动。如果一个数被大于其平方根的某数除，得到的是一个小于其平方根的数。例如，36的平方根是6。用小于6的数2去除36，就得到一个大于其平方根的数18。为了证明37是素数，只需用比6小的素数去除它即可，因为如果它有一个大于6的素因数，那么它也必有一个小于6的素因数。——原注
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(5)贝特朗假设，又称“贝特朗猜想”，指命题“n与2n之间必有一素数”。——译者
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(6)还有其他类似的与素数分布有关的猜想，但证明更为困难。例如，在两个相继平方数之间是否至少有一个素数？比方82与92之间是否有素数？猜想看来是对的，但却迄今未获证明。——原注
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(7)鲍伯·霍普（Bob Hope，1903—2003），美国著名喜剧演员。——译者
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(8)如我们在后面关于康托尔的讨论中将要看到的那样，两个具有不同密度的集合却可以大小相同。——原注
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第四章 幸福结局问题
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“我们数学家都有点儿古怪。”德国数论学家埃德蒙·兰道（Edmund Landau）1935年在剑桥大学遇见爱多士时说。这是爱多士（尽管他还年轻）不能不同意的一个观点，虽然他认为这种古怪与其说是麻烦，不如说是乐趣。事实上古怪不古怪对爱多士来说并无所谓；从其数学之旅一开始，爱多士就经常长途跋涉去会见每一个能够做出漂亮证明和猜想的人，他在这方面是如此锲而不舍。
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